ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Нехай в трапецію ABCD (AB ⟂ AD) вписане коло, яке дотикається до сторін АВ, ВС, CD і AD відповідно в точках L, М, N i К, ВМ = 6 см, МС = 3 см. Тоді CN = MC = 3 см, LB = ВМ = 6 см і дорівнюють радіусу кола. Тоді LA = АК = 6 см, АВ = 2LA, АВ = 6 • 2 = 12 (см). Позначимо довжину KD як х см, тоді ND — х см; AD = АК + KD, AD = (6 + х) см. Проведемо висоту CH, CH = BA, CH ⟂ AD. У △CHD ∠CHD = 90°, CD = CN + ND, CD = (3 + х) см, НВ = АD - АН = АD - ВС = 6 + x - (BM + MC) = 6 + x - (6 + 3) = 6 + x - 6 - 3 = (x - 3) см. За теоремою Піфагора CD² = CH² + HD², (3 + x)² = 144 + (x - 3)², 9 + 6 + x² = 144 + x² - 6x + 9, 12x = 144, x = 12. Тоді AD = 6 + 12 = 18 (см). BC + AD = 9 + 18 = 27 (см). Оскільки в трапецію можна вписати коло, то суми протилежних її сторін рівні, отже, Р_ABCD = 2(ВС + AD), Р_ABCD = 27 • 2 = 54 (см).

Точка A — поверхня озера. АВ — висота лотоса над озером. АВ = 0,5 фута. AN — частина лотоса, яка знаходиться в воді, тобто AN — глибина озера. К — точка на озері, куди віднесло лотос вітром. AK = 2 фута за умовою, NK = (х + 0,5) фута.

△NAK — прямокутний.

(х + 0,5)² - х² = 2²;

х² + х + 0,25 = 2²;

х = 4 - 0,25;

х = 3,75 фута — глибина озера.