ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Якщо птахи пролетіли відстань з однаковою швидкістю і за той же проміжок часу, то ці відстані рівні. К — точка, де з’явилась риба. АК = СК. △АВК — прямокутний, △CKD — прямокутний. Нехай ВК = х, тоді KD = 50 - х. З △АВК: АК = 202 + х2. З △CKD: СК = 302 + (50 - х)2, тоді 202 + х2 = 302 + (50 - х)2; 400 + х2 = 900 + 2500 - 100х + х2; 100х = 3000; х = 30. Тобто ВК = 30, тоді КD = 50 - 30 = 20 (ліктів) — шукана відстань. К знаходиться ближче до вищої пальми.

∠CBD = ∠ADB як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та січній BD. Але ∠АDВ = ∠CDB, тоді ∠CBD = ∠CDB, отже, △BCD — рівнобедрений і ВС = CD = 12 см. Проведемо висоту СН, тоді HD = AD - ВС, HD = 18 - 12 = 6 (см). У △CHD ∠CHD = 90°. Тоді CH2 = CD2 - HD2, CH2 = 144 - 36 = 108. BA = CH. У △ABD ∠BAD = 90°, тоді BD2 = AB2 + AD2, BD2 = 108 + 324 = 432, BD = √432 = 12√3 (см).

У △ABC: AB = ВС, BH — висота, О — центр вписаного кола, О є ВН. Тоді ОН — радіус кола, ОН = 12 см. За умовою ВО = 20 см. Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину бісектрис трикутника. Оскільки висота рівнобедреного трикутника, проведена до його основи, є і бісектрисою, і медіаною, то центр кола лежить на висоті.

В трапецію ABCD (AB ⟂ AD) вписане коло з центром О, а точки дотику кола до сторін АВ, ВС, CD і AD відповідно L, М, N і К. АК = 20 cм, KD = 25 см. Тоді AD = АК + KD = 20 + 25 = 45 (см); AL = АК як відрізки дотичних, проведених із однієї точки до кола. Тоді LA = АК = 20 см і вони дорівнюють радіусу кола LB = AL = ВМ = 20 см; АВ = 2AL, АВ = 20 • 2 = 20 (см). ND = KD = 25 см. Позначимо довжину CN як х см, тоді МС = CN = х см. Проведемо висоту СН, тоді HD = AD - ВС, ВС = ВМ + МС, ВС = (20 + х) см, HD = 45 - (20 + х) = (25 - х) см, СВ = 25 + х; СН = АВ = 40 см. У △CHD ∠CHD = 90°, тоді за теоремою Піфагора CD2 = CH2 + HD2, (25 + х)2 = 402 + (25 - х)2, 625 + 50х + х2 = 1600 + 625 - 50х + х2, 100х = 1600, х = 16. Отже, ВС = 20 + 16 = 36 (см), ВС + AD = 36 + 45 = 82 (см). РABCD = 2(ВС + AD), оскільки суми протилежних сторін трапеції рівні, бо в неї можна вписати коло, РABCD = 2 • 81 = 162 (см).


15