ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

У △АВС: АВ = ВС, АК — висота, К є ВС, ВК = 16 см, СК = 4 см. ВС = ВК + КС, ВС = 16 + 4 = 20 (см), тоді АВ = 20 см. У △АВК ∠АКВ = 90°, тоді АК² = АВ² - ВК², АК² = 400 - 256 = 144. У △АКС ∠АКС = 90°, тоді АС² = АК² + КС², АС² = 144 + 16 = 160, АС = 4√10 см.

Нехай коло з центром О описано навколо △АВС, АВ = ВС, ВН — висота, яка є і медіаною. О лежить на ВН, оскільки центр описаного кола — точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника, а ВН і є серединним перпендикуляром до АС. За умовою ВН = 8 см, радіус кола 5 см, отже, ОВ = ОА = 5 см. ВН = ВО + ОН, звідки ОН = ВН - ВО, ОН = 8 - 5 = 3 см. У △АОН ∠ОНА = 90°, тоді за наслідком із теореми Піфагора АН² = АО² - ОН². АН² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16. У △АВН ∠ВНА = 90°. За теоремою Піфагора АВ² = АН² + ВН², АВ² = 16 + 64 = 80, АВ = 4√5 см.

Нехай у △АВС АВ = 29 см, ВС = 25 см, АС = 6 см, ВН — висота, Н є АС. Позначимо довжину АН за х см, тоді НС — (6 - х) см. У △АВН ∠ВНА = 90°, тоді за наслідком із теореми Піфагора ВН² = АВ² - АН², ВН² = 841 - х². У △ВСН ∠ВНС = 90°, тоді за наслідком із теореми Піфагора ВН² = ВС² - НС², ВН² = 625 - (6 - х)². Маємо: 841 - х² = 625 - (6 - х)², 841 - х² = 625 - 36 + 12х - х², 12х = 252, х = 21. Тоді ВН² = 841 - 441 = 400, ВН = 20 см.

У △АВС: АВ = 25 см, ВС = 29 см, АС = 36 см, ВН — висота. Нехай АН = х см, тоді НС = (36 - х) см. У △АВН ∠ВНА = 90°, тоді ВH² = АВ² - АН², ВН² = 625 - х². У △ВСН ∠ВНС = 90°, тоді ВН² = ВС² - НС², ВН² = 841 - (36 - х)². 625 - х² = 841 - (36 - х)², 625 - х² = 841 - 1286 + 72х - х², 72х = 625 + 1296 - 842, 72х = 1080, х = 15. Тоді ВН² = 841 - (36 - 15)² = 841 - 441 = 400, ВH = 20см.

З точки до прямої а проведено похилі АВ і АС та перпендикуляр АН, АВ : АС = 5 : 6, а ВН = 7 см, НС = 18 см. Нехай АВ = 5х см, АС = 6х см. У △АВН ∠АНВ = 90°, тоді АН² = АВ² - ВН², АН² = 25х² - 49. У △АСК ∠АНС = 90°, тоді АН² = АС² - НС², АН² = 36х² - 324. Отже: 25х² - 49 = 36х² - 324, 36х² - 25х² = 324 - 49, 11х² = 275, х² = 25, х = 5. АН² = 25 • 5² - 49 = 625 - 49 = 576, АН = 24 см — відстань від точки А до прямої а.

Із точки А до прямої а проведено похилі АВ = 15 см і АС = 27 см та перпендикуляр АН. Тоді ВН — проекція АВ на а, НС — проекція АС на а. За умовою ВН + НС = 24 см. Нехай ВН = х см, тоді НС = (24 - х) см. У △ВАH ∠АНВ = 90°, тоді АH² = АВ² - ВН², АН² = 225 - х². У △АСН ∠АНС = 90°, тоді АH² = АС² - НС², АН² = 729 - (24 - х)². Маємо: 225 - х² = 729 - (24 - х)², 225 - х² = 729 - 576 + 48х - х², 48х = 72, х = 15. Тоді ВН = 1,5 см, НС = 24 - 1,5 = 22,5 см.

△АВС — прямокутний, ∠С = 90°, в нього вписано коло, К, М і L — точки дотику, К є АС, М є АВ, L є СВ. За умовою КС = 2 см, KA = 6 см. За властивістю дотичних, проведених із однієї точки до кола, МА = КА = 6 см, LC = КС = 2 см. Нехай LB = х см, тоді MB = х см. У △АВС АС = АК + КС. АС = 6 + 2 = 8 (см), СВ = (2 + х) см, АВ = (6 + х) см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², (6 + х)² = 64 + (2 + х)², 36 + 12х + х² = 64 + 4 + 4х + х²; 12х - 4х = 68 - 36, 8х = 32, х = 4. Отже: АС = 8 см, АВ = 6 + 4 = 10 (см), СВ = 2 + 4 = 6 (см).