ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

оскільки сума кутів при бічній стороні трапеції 180°. У △COD ∠COD = 180° - (∠OCD + ∠ODC), ∠COD = 180° = 90° = 90°. Проведемо у △OCD висоту ОМ — це висота, проведена до гіпотенузи, тоді ОМ2 = СМ • MD, ОМ2 = 8 • 50, ОМ = 20 (см) — радіус вписаного кола. ОК = ОН = ОМ = 20 см, OK ⟂ ВС, ОН ⟂ AD, ВС ∥ AD, тоді точки К, О і Н лежать на одній прямій КН = 2ОМ, КН = 20 • 2 = 40 (см); КН ∥ ВА, тоді ВА = 40 см. ВА + CD = 40 + 8 + 50 = 98 (см). Якщо у чотирикутник можна вписати коло, то суми його протилежних сторін рівні, отже, РABCD = 2(АВ + CD), PABCD = 98 • 2 = 196 (см).

В трапецію ABCD (АВ = CD) вписано коло з центром О. Точки К, М i Н — точки дотику кола відповідно до сторін ВС, CD і AD. КН ∥ AD, КН — висота трапеції, КН = 2ОН = 2ОМ. Проведемо відрізки ОС і OD. За доведеним у попередній задачі, якщо в трапецію вписано коло, то ∠COD = 90°. Проведемо радіус ОМ в точку дотику, ОМ ∥ CD, тоді ОМ — висота △COD, проведена до гіпотенузи, ОМ2 = СМ • MD. За умовою СМ = 3 см, MD = 27 см, тоді ОМ2 = 3 • 27, ОМ = 9 см. Отже, КН = 9 • 2 = 18 (см).

525. Нехай РABCD = х см, тоді AD = x - 35 (см), АВ = х - 28 (см). РABCD = 2(АВ +AD). Складемо і розв’яжемо рівняння; 2(х - 35 + х - 28) = х; 2(2х - 63) = х; 4х - 126 = х; 4х - х = 126; 3х = 126; х = 126 : 3 = 42. Отже, AD = 42 - 35 = 7 (см), АВ = 42 - 28 = 14 (см).

△BMN — прямокутний, рівнобедрений, MN ∥ АС, АС ∥ DB, тому MN ∥ BD, ∠NBZ = 45°, звідси NZ = BZ. Аналогічно KQ = QD. BZ = MZ, EQ = QD. Тоді ZN + NK + KQ = BZ + ZQ + QD = BD. PMNKE = 2 • BD = 2 • 7 = 14 (cм).


15