ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

15. Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику

511. 62 = 4 • с; с = 9.

512. ас = 5 см, bс = 20 см. с = аc + bс, с = 5 + 20 = 25 (см). а2 = ас • с, а2 = 5 • 25, а = 5√5 см; b2 = bс • с, b2 = 20 • 25, b = 10√5 см.

514. У △АВС ∠С = 90°, СН ⟂ BA, ВН = СН - 3 см, АН = СН + 4 см. Нехай СН = х см, тоді ВН = (х - 3) см, АН = (х + 4) см. За метричними співвідношеннями СН2 = ВН • НА, тоді х2 = (х - 3) • 9х + 4), х2 = х2 + 4х - 3х - 12, х = 12, ВН = 12 - 3 = 9 (см), АН = 12 + 4 = 16 (см). АВ = ВН + АН, АВ = 9 + 16 = 25 (см). ВС2 = ВН • АВ, ВС2 = 9 • 25, ВС = 15 см; СА2 АН • АВ, СА2 = 16 • 25, СА = 20 см.

Нехай у △АВС ∠С = 90°, СН ⟂ ВА і нехай ВС — менший катет трикутника. За умовою АС = АВ - 10 см і АС = АН + 8 см. Позначимо довжину АС як х см, тоді х = АВ - 10, х = АН + 8, звідки АВ = х + 10, АН = х - 8. За метричними співвідношеннями АС2 = АН • АВ, тоді х2 = (х - 8)(х + 10), звідки х2 = х2 + 10х - 8х - 80, 2х = 80, х = 40, тоді АВ = 40 + 10 = 50 (см), АH = 40 - 8 = 32 (см), ВС2 = ВН • АВ = (АВ - АH) • АВ, тоді ВС2 = (50 - 32) • 50 = 18 • 50 = 900, ВС = 30 см.

О — точка перетину діагоналей ромба ABCD. BD = 2DO, АС = 2АО, ∠AOD = 90°. У прямокутному △AOD на гіпотенузу AD проведено висоту ОН. За умовою ОН = 2 см, HD : AH = 1 : 4. Нехай HD = х см, AH = 4х см, AD = HD + АН, AD — 5x см. За метричними співвідношеннями ОН2 = АН • HD, тоді 4х • х = 22, 4х2 = 4, х2 = 1, х = 1, отже, АН = 4 • 1 = 4 (cм), HD = 1 cм, AD = 1 • 5 = 5 (см). АО2 = АН • AD, АО2 = 4 • 5, АО = 2√5 см,тоді АС = 2√5 • 2 = 4√5 (см). OD2 = HD • AD, OD2 = 1 • 5, OD = √5 см, тоді BD = √5 • 2 = 2√5 (см).

519. Нехай в коло з центром О вписано трапецію ABCD, у якої АВ = CD, О є AD, BD = 20 cм. Опустимо висоту ВН трапеції, тоді за умовою HD = 16 cм. ∠ABD — вписаний в коло і спирається на діаметр, тому ∠ABD = 90°, ВН — висота, опущена на гіпотенузу AD △ABD, тоді за метричними відношеннями BD2 = HD • AD, звідки


15