ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

У чотирикутнику KBMD: ∠К = ∠М = 90°, ∠КВМ = 20°, тоді ∠АDС = 360° - (90° + 90° + 20°) = 160°. Тоді у паралелограма ABCD: ∠D = ∠В = 160°, ∠А = ∠C= 180° - 160° = 20°.

2) У чотирикутнику АКСМ: ∠К = ∠М = 90°, ∠КАМ = 130°, тоді ∠С = 50°. Тоді у паралелограма ABCD: ∠С = ∠А = 50°, ∠В = ∠D = 180° - 50° = 130°.

△О1АО2 — рівнобедрений: АО1 = ОА2 = R — радіуси. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠АO1С = ∠АО2D.

AN — висота, медіана, бісектриса. AN ⟂ O1O2; ∠O1AN - ∠О2AN; O1N = O2N. Аналогічно, △О1ВО2 — рівнобедрений (O1B = O2B = R).

NB — висота, медіана, бісектриса, BN ⟂ О1О2. ∠О1ВN = ∠О2ВN. Отже, AB ⟂ О1О2 ; AB ⟂ CD. AD є бісектрисою кутів О1АО2 i О1ВО2.

△АО1В — рівнобедрений (АО1 = О1В = R). ON — висота, медіана, бісектриса, AN = NB. ∠АО1С = ∠ВО1С.

О1С — спільна сторона, АO1 = ВО2 = R, ∠АО1С = ∠ВО1С. За І ознакою рівності трикутників маємо: △АО1С = △ВО1С. Звідси: АС = СВ. Аналогічно, △AO2D = △BO2D (DO2 — спільна сторона, АО2 = ВО2 = R, ∠АО2D = ∠BO2D), тому AD = DB. △ВО1С = △BO2D (O1B = O2B = R і ∠BO1C = ∠BO2D), СВ = BD. Отже, AD = DB = ВС = CA, AB ⟂ CD, AB і CD є бісектрисами кутів. ABCD — ромб.

Виконаємо додаткову побудову: висоту CP (CP ⟂ AD). За властивістю кутів трапеції маємо: ∠BCD + ∠D = 180°, ∠D = 180° - ∠BCD, ∠D = 180° - 135° = 45°. Розглянемо △CPD — прямокутний (∠P = 90°). Якщо ∠D = 45°, тому за побудовою АВСР — прямокутник. За властивістю сторін прямокутника маємо: ВС = АР, АВ = СР.

За умовою ВС : AD = 2 : 5. Нехай ВС = 2х (cм). AD = 5х (см). За умовою MN — середня лінія трапеції. За теоремою про середню лінію трапеції маємо: MN = 1/2(AD + BC); (2х + 5х) : 2 = 21; (7х) : 2 = 21; 7х = 21 • 2; 7х = 42; х = 42 : 7; х = 6. Отже, AD = 5 • 6 = 30 (см), ВС = 2 • 6 = 12 (см); ВС = АР = 12 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: PD = AD - АР; PD = 30 - 12 = 18 (см). Отже, PD = CP = АВ = 18 см.


15