ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас
Якщо пряма перетинає дві сторони рівнобедреного трикутника, одна з яких бічна, а друга — основа, то пряма може відітнути подібний трикутник і не бути паралельною третій стороні.
Наприклад, △АВС ~ △РКС, але КР не паралельна АВ.
Нехай PF = х см, тоді NF = 3х см. Маємо: 9 • 12 = 3х • х, 3х2 = 108, х2 = 36, х = 6. NP = NF + PF, тоді NP = 4х см, NP = 6 • 4 = 24 (см).
Нехай АК = х см, тоді КС = х см. За властивістю хорд, що перетинаються, маемо: АК • СК = EK • DK, х • х = 32 • 2, х2 = 64, х = 8. Оскільки АС = 2АК, то АК = 2х = 8 • 2 = 16 (см).
Проведемо діаметр КМ через т. F і О, де О — центр кола. Позначимо довжину радіуса як х см, тоді ЕМ = ОМ + ЕО = (х + 4) см, а КЕ = ОК - ЕО = (х - 4) см. За властивістю хорд, що перетинаються СЕ • DE = КЕ • ЕМ. Нехай СЕ = 16 см, ED = 15 см, тоді 16 • 15 = (х - 4)(х + 4), звідки х2 - 16 = 240, х2 = 256, х = 16. Отже, радіус кола 16 см.
Нехай в колі з центром О хорду МК точка Р ділить на відрізки МР = 8 см, КР = 12 см. Проведемо через точки Р і О діаметр МЕ; ЕО = ON = 11 см — радіуси кола. PE = ОЕ + РО = 11 + РО, NP = NO - РО = 11 - РО. За властивістю хорд, що перетинаються, МО • РК = NP • РЕ, тоді 8 • 12 = (11 - РО)(11 + РО), 121 - РО2 = 96, РО2 = 25, звідки РО = 5 см.
Позначимо коефіцієнт подібності частин січної як х, тоді АС — 4х см, CD — 5х см, a AD — 4х + 5х = 9х (см). AB2 = AC • AD, 182 = 4х • 9х, 36х2 = 324, х2 = 9, х = 3. AD = 3 • 9 = 27 (см).
