ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Проведемо через т. К пряму, паралельну AM, її точка перетину з ВС — т. N. За умовою ВМ : NC = 3 : 10. Позначимо коефіцієнт їх пропорційності як х, тоді ВМ — 3х, МС — 10х. У △АМС KN — медіана, оскільки К — середина АС і KN ∥ AM, тоді N — середина МС, тоді

Проведемо через т. К пряму, паралельну МС, яка перетинає АВ в т. N. За умовою AM : ВМ = 4 : 3, тоді AM — 4х, MB — 3х, де х — коефіцієнт їх пропорційності. У △АМС KN — середня лінія, тоді NM = AN = 2х. Прямі NK ∥ МС і перетинають сторони ∠АВК так, що NM : MB = 2 : 3. Тоді KO : ОВ = 2 : 3. Отже, медіана ділиться у відношенні 2 : 3.

Побудуйте довільний гострий кут з вершиною А. На одній його стороні відкладіть відрізок АВ довжиною b та відрізок ВС довжиною с так, щоб точка В лежала між А і С. На другій стороні кута відкладіть відрізок AD довжиною а. Через точки D і В проведіть пряму, а через точку С проведіть пряму, паралельну DB. Точку її перетину з променем AD позначте X. Тоді АD : DX = АВ : ВС, тобто а : х = b : с. Відрізок DX — шуканий.

∠АВС — довільний кут. Через точку О проведемо пряму, паралельну стороні ВС. Вона перетне сторону ВА в т. М. на промені МА відкладемо MP = MB (М між т. Р і В). Побудуємо промінь РО, він перетне сторону ВС в т. К. Відрізок РК — шуканий, бо О — середина РК (за теоремою Фалеса, оскільки ВМ = МР i МО ∥ ВС).

Через точку О проведемо пряму, паралельну другій стороні кута А. Точку її перетину з першою стороною позначимо Е. Поділимо відрізок АЕ навпіл точкою F. На цій же стороні кута відкладемо відрізок ЕК такий, що ЕК = 3AF і точка Е лежить між А і К. Проведемо промінь КО до перетину з другою стороною кута, цю точку позначимо Р. РК — шуканий відрізок. Якщо АН : ЕК = 2 : 3, то і РО : ОК = 2 : 3.

Побудуємо відрізок ВС, що дорівнює заданій стороні. В одній півплощині відносно ВС побудуємо кут ∠КВС і ∠МСВ, що дорівнюють даним кутам.

О — точка перетину променів CM і ВК.

О — точка перетину медіан.

Побудуємо відрізок АК, що дорівнює одній із медіан. Поділимо його на 3 рівні частини і позначимо одну з точок поділу О так, щоб АО = 2ОМ. Через точку О проведемо пряму l під заданим кутом між медіанами. Поділимо другу задану медіану на 3 рівні частини і на прямій l відкладемо по різні боки від т. О відрізок ОМ, що дорівнює третині цієї медіани, і ОВ, що дорівнює двом третинам медіани. Проведемо промені AM і ВК, точку їх перетину позначимо С. З’єднаємо точки А, В і С. △АВС — шуканий.

Побудуємо відрізок AA1, що дорівнює одній із медіан. Поділимо його на 3 рівні частини і позначимо точку О так, щоб АО = 2A1O. Із точки О проведемо коло радіусом, що дорівнює двома третинам другої медіани, а із точки А — з радіусом, що дорівнює двом третинам третьої медіани. Точку їх перетину позначимо F. Із точки О проведемо коло з радіусом, що дорівнює AF, а із точки F — радіусом ОА. Точку перетину кіл позначте В. Проведемо промінь ВА1 у півплощину відносно ВА, в якій лежить точка О, та промінь FO. Точку перетину променів позначимо С. З’єднаємо точки А, В і С. △АВС — шуканий.

Побудуйте пряму а, оберіть на ній т. К і побудуйте перпендикуляр до а — С1К, що дорівнює половині заданої висоти. Із т. C1 проведіть коло з радіусом, що дорівнює першій медіані, його точку перетину з прямою а позначте С. Через т. С1 проведіть пряму b, паралельну а. Поділіть відрізок СС1 на 3 рівні частини і позначте на СС1 точку О так, щоб СО = 2C1O. Із т. О проведіть коло з радіусом, що дорівнює двом третинам другої медіани, точку його перетину з прямою а позначте А. Із т. О проведіть коло з радіусом, що дорівнює третині другої медіани, його точку перетину з прямою b позначте А1. Проведіть промені АС1 і СА1, а точку їх перетину позначте В. З’єднайте точки А, В і С. △АВС — шуканий.

Проведемо СЕ ∥ BD, яка перетинає АВ в точці К. Оскільки СК ∥ CD, то ∠СКВ = ∠DBN (половині зовнішнього кута); ∠BCK = ∠DBC як внутрішні різносторонні при СК ∥ BD та січній ВС і також дорівнює половині зовнішнього кута. Тоді △ВСК — рівнобедрений і ВС = ВК. Оскільки СК ∥ BD, то вони відтинають на сторонах кута DAN пропорційні відрізки і АВ : ВК = AD : CD або AB : BC = AD : CD.

△ВЕС — рівнобедрений (BE = ВС = а). За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠ВЕС = ∠ВСЕ = 75°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠EBC = 180° - (∠ВЕС + ∠BCE); ∠EBC = 180° - (75° + 75°) = 180° - 150° = 30°. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠ABE = ∠ABC - ∠EBC; ∠АВЕ = 90° - 30° = 60°. Розглянемо △АВЕ — рівнобедрений (АВ = АЕ = а). Якщо ∠ABE = 60°. Отже, △АВЕ — рівносторонній, тому АЕ = АВ = а.


15