ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

394. У трапеції ABCD (СВ ∥ AD) MN — середня лінія, М — середина AB, N — середина CD. MN ∥ BC ∥ AD. Нехай точка перетину MN і АС — т. К, MN і BD — т. L. У △ABCM — середина АВ, МК ∥ ВС, тоді за теоремою Фалеса К — середина АС. Отже, середня лінія ділить діагональ навпіл.

У ABCD N — середина CD, NL ∥ ВС, тоді за теоремою Фалеса L — середина BD. Отже, середня лінія трапеції ділить діагоналі навпіл.

Проведемо діагоналі BD і АС. У паралелограма діагоналі перетинаються, і точкою перетину діляться навпіл. Позначимо цю точку O. O — середина BD, К — середина AD, М — середина АВ. Отже, ВК, DM і АО — медіани △ABD. За властивістю медіан вони перетинаються в одній точці. Отже, точка перетину відрізків ВК і DM належить АО, значить, діагоналі АС.