ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

381. М — середина АВ, N — середина ВС, К — довільна точка сторони АС, що не співпадає ні з А, ні з С. Тоді MN — середня лінія △АВС, L — точка її перетину з ВК. MN ∥ АС і вони перетинають сторони кута АВК в точках М і А та К і L. На стороні ВА ці прямі відтинають рівні відрізки MB = МА, тоді за теоремою Фалеса вони відтинають і на стороні ВК рівні відрізки. Отже, BL = LK. Оскільки точку К було обрано довільно, то середня лінія трикутника MN ділить будь-який відрізок, що сполучає точку В з точкою К сторони АС, навпіл.

△АВС — рівносторонній. ВН — висота і ВН — 12 см. Оскільки △АВС — рівносторонній, то його висоти є медіанами і бісектрисами. Проведемо медіани АK і CL, всі вони перетинаються в точці О. За властивістю медіан трикутника ВО : ОН = 2 : 1, отже: ВО = 2ОН, ВО + ОН = 3ОН і за умовою 3ОН = 12 см, звідки ОН = 4 см. ОН ⟂ AC, OK ⟂ ВС, OL ⟂ АВ, отже, ОН, OK, OL — відстані від точки О до сторін АС, ВС і АВ відповідно. Оскільки у рівностороннього трикутника висоти рівні, то ОН = ОК = OL = 4 см. Оскільки висоти є і бісектрисами, то О — точка перетину бісектрис трикутника. Тоді відстань від точки перетину бісектрис до сторін — 4 см.

О — точка перетину медіан CD і ВК △АВС, CD = 9 см. За властивістю медіан трикутника ОС : OD = 2 : 1, ОС = 2OD, CD = OD + 2OD = 3OD. Маємо: 3OD = 9, ОD = 3 см, CO = 3 см • 2 = 6 см.

М — середина хорди ВС. Проведемо із неї перпендикуляр МН до АС, МН = 3 см. Проведемо перпендикуляр BN до АС, тоді BN ∥ МН і М — середина ВС, тоді в △ВМС МН — середня лінія і BN = 2МН, BN = 3 см • 2 = 6 см. У △АВN: ∠ВNА = 90°, ∠BAN = 30°, тоді BN — катет, що лежить проти кута в 30°, AB = 2BN, АВ = 6 см • 2 = 12 см.

Нехай у ромба ABCD т. О — точка перетину діагоналей, ВМ — висота, ВМ ⟂ AD. Проведемо OK ⟂ AD, OK — відстань від точки перетину діагоналей ромба до AD. Оскільки BМ ⟂ AD, OK ⟂ AD, то ОК ∥ ВМ. У △АВМ ∠BMA = 90°, ∠BAM = 45°, тоді ∠АВМ = 45°, отже, △АВМ — рівнобедрений де AM = ВМ, тоді ВМ = 8 см. У △BMD ОК ∥ ВМ, О — середина BD, тоді ОК — середня лінія, отже,


15