ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

§ 2. Подібність трикутників

11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки

Через кінець А відрізка АВ проведемо промінь АК, який не лежить на прямій АВ. Позначимо на промені АК довільну т. К₁, потім на цьому промені позначимо послідовно точки К₂, К₃, К₄, К₅ такі, що К₁К₂ = К₂К₃ = K₃K₄ = K₄K₅ = AK₁. Побудуємо відрізок ВК₅ і через т. К₁, К₂, К₃, К₄ проведемо прямі, паралельні прямій ВК₅. Ці прямі перетнуть АВ у точках B₁, В₂, В₃, B₄. За теоремою Фалеса AB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B.

Проведемо промінь AM з т. А, AM не лежить на прямій АВ. Від т. А на промені AM послідовно відкладемо AM₁ = М₁M₂ = М₂М₃ = М₃М₄ = М₄М₅ = М₅М₆ = М₆М₇, тобто сім відрізків довільної довжини, але рівних між собою. Проведемо відрізок ВМ₇ і через т. M₁, М₂, М₃, M₄, М₅, М₆ проведемо прямі, паралельні ВМ₇. Ці прямі перетнуть АВ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, В₅, В₆. За теоремою Фалеса: AB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B₅ = B₅B₆= B₆B₇.

Проведемо промінь АК, який не лежить на прямій АВ. На промені АК від т. А відкладемо АК₁ довільної довжини. Потім від т. А на промені АК послідовно відкладемо відрізки AC₁ і С₁К₂ такі, що AC₁ = 2АК₁, С₁К₂ = 7АК₁. Проведемо відрізок К₁В і через т. С проведемо пряму, паралельну К₂В. Ця пряма перетне АВ в т. С. За теоремою Фалеса: АС : СВ = АС₁ : С₁К₂, тобто АС : СВ = 2 : 7.

Проведемо через т. С промінь CM, який не лежить на прямій CD. Від т. С на промені CM відкладемо довільний відрізок СМ₁, потім від т. M₁ на промені М₁М відкладемо M₁M₂ = 5 • СМ₁. Побудуємо відрізок DM₂i через т. М₁ проведемо пряму, паралельну DM₂. Ця пряма перетне CD в т. E. За теоремою Фалеса: СЕ : ED = СМ₁ : М₁М₂ = 1 : 5.