ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Оскільки ∠АРМ = ∠AQM = 90°, то точки А, Р, М, Q лежать на колі.

∠APQ = ∠AMQ (як кути, вписані у коло і спираються на хорду AQ).

Розглянемо △АРК і △AMQ, ∠АКР = 90°, ∠AQM = 90°, ∠АРК = ∠AMQ, тоді і ∠РАК = ∠MAQ.

Оскільки ∠CC1A = ∠AA1C = 90°, то точки А, С1, А1, С лежать на одному колі.

Оскільки ∠AC1C = ∠АА1С = 90° вписані у коло і спираються на хорду АС, то АС — діаметр кола.

A1C1 — хорда кола, серединний перпендикуляр до хорди — це радіус, що належить діаметру кола. Точка М — точка перетину двох діаметрів, тоді це центр кола і А1М = МС1.

О — середина АС, △АОМ = △СОК (II ознака): АО = ОС (т. О — середина АС); ∠АОМ = ∠СОК (як вертикальні); ∠AMO = ∠СКО (як внутрішні різносторонні при АВ ∥ CD і січній МК). З рівності трикутників MO = ОК.

Розглянемо чотирикутник АМСК. АС і МК — діагоналі, АО = ОС, МО = ОК, тоді АМСК — паралелограм.

∠DAC = ∠EDA (як внутрішні різносторонні при ED ∥ АС і січній AD).

В △АED ∠EAD = ∠EDA, тоді △AED — рівнобедрений і АЕ = ED.

FEDC — паралелограм, оскільки ED ∥ FC, ЕF ∥ DC, тоді ED = FС. Отже, АЕ = FC.


15