ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

У трапецію ABCD, у якої ∠А = ∠В = 90°, вписано коло, О — центр кола, OK ⟂ CD, OK — радіус кола, СК = 3 см і KD = 12 см, Р_ABCD = 54 см. CD = СК + KD, CD = 3 + 12 = 15 (см). Проведемо NH ⟂ AD, N є ВС, Н є AD. NC = КС = 3 см як відрізки дотичної, проведені до кола із однієї точки. Аналогічно DH = DK = 12 см. BN = AH = OK, BA = NH = 2ОК. Р_ABCD = AB + ВС + CD + AD, P_ABCD = 2OK + OK + 3 + 3 + 12 + OK + 12 = 4OK + 30 = 54, 4OK = 45 - 30, 4OK = 24, OK = 24 : 4 = 6 (см).

У трапеції ABCD: О — середина основи AD і О — центр описаного кола; АВ = ВС = CD. Проведемо радіуси ОВ і ОС. Розглянемо △АОВ, △СОВ, △DOC: ОА = ОВ = ОС = OD як радіуси кола, АВ = ВС = CD за умовою. Отже, △АОВ = △СОВ = △DOC за трьома сторонами ⇒ ∠ОАВ = ∠ОВА = ∠ОВС = ∠ОСВ = ∠OCD = ∠ODC. ∠ОАВ + ∠ABC = 180° як сума прилеглих кутів до бічної сторони трапеції, тоді ∠ОАВ + 2∠ОВА + ∠ОВС = 180°, тобто 3∠ОАВ = 180°, ∠ОАВ = 60°. Тоді ∠ABC = 60° • 2 = 120°. Кути трапеції при основі рівні, тому ∠D = ∠A = 60°, ∠В = ∠С = 120°.

△АВС — рівнобедрений за умовою. Якщо ∠A = 90°, то ∠B = 120°. Тоді ∠ВАС = ∠BCA = (180° - 120°) : 2 = 30°. ∠C = 120°, ∠BCA = 30°, тоді ∠ACD= 90°, ∠ACD — вписаний, отже, він опирається на діаметр. Тобто AD — діаметр кола. У △АСD — прямокутному, ∠CAD = 30°, CD = 6 см, тоді AD = 12 см.

У △АВС (∠C = 90°) МК ⟂ АВ. У чотирикутника МКВС ∠С + ∠К = 90° + 90° = 180°, ∠M + ∠B = 360° - (∠C + ∠К) = 360° - 180° = 180°, отже, суми протилежних кутів по 180°, тоді навколо чотирикутника можна описати коло. У цьому колі ∠МКС і ∠МВС — вписані і спираються на одну й ту ж дугу, що стягує хорди МС. Тоді ∠МКС = ∠MBC.

356. Усередині гострого кута А обрали точку О і провели перпендикуляри ОС і OD до сторін кута. Тоді у чотирикутника АСОВ протилежні кути ∠ОСА і ∠OBA = 90°. Отже, ∠ОСА + ∠ОВА = 180°, тоді ∠CAB + ∠СОВ = 360° - 180° = 180°. Оскільки суми протилежних кутів чотирикутника по 180°, то навколо нього можна описати коло. Тоді ∠ОСВ і ∠ОАВ — вписані в це коло і спираються на одну й ту ж саму дугу, що стягує хорда АВ. Отже, ∠ОСВ = ∠ОАВ.

Нехай ∠МСВ = α, ∠СВК = β. ∠СОК — зовнішній для △ВОС, тоді ∠СВО + ∠ВСO = ∠СОК, отже, α + β = 60°. ∠ABC = 2β, ∠ACB = 2α. Тоді в △АВС ∠ВАС = 180° - (∠ABC + ∠ACB), ∠ВАС = 180° - 2 • 60° = 60°. ∠МОК — суміжний з ∠СОК, тому ∠МОК = 180° - 60° = 120°. У чотирикутника AMOK ∠А = 60°, ∠МОК = 120°, отже, ∠МАК + ∠МОК = 180°, ∠АМО + ∠АКО = 360° - 180° = 180° — суми протилежних кутів по 180°, тоді навколо чотирикутника AMOK можна описати коло. Кути ∠ОАК і ∠ОМК — вписані в це коло і спираються па одну й ту ж саму дугу, що стягує хорда ОК. Тоді ∠ОМК = ∠ОАК. Оскільки бісектриси △АВС перетинаються в точці О, то АО — бісектриса ∠МАК, ∠ОАК = 60° : 2 = 30°. ∠СМК = 30°.

358. Нехай ∠АМК = α, ∠ВКМ = β. Тоді у △MOK ∠МОК = 180° - (α + β). У чотирикутника ANВО ∠BOA = ∠МОК = 180° - (α + β) як вертикальні. Оскільки навколо чотирикутника ANBP можна описати коло, то ∠ВОА + ∠BNA = 180°, звідки ∠ВМА - 180° - ∠ВОА, ∠BNA = 180° - (180° 0(α + β)) = α + β. У △ABC ∠NMK = 2α, ∠NKM = 2β, тоді ∠NMK + ∠NKM + ∠MNK = 180°, 2α + 2β + α + β = 180°, 3α + 3β = 180°, α + β = 60°. Отже, ∠N = 60°.

Розглянемо чотирикутник АСВО: ∠АСВ = 90° (за умовою), ∠АОВ = 90° (AF ⟂ BD як діагоналі квадрата), тоді навколо цього чотирикутника можна описати коло.

Оскільки ∠АСВ = ∠АОВ = 90° і вони є вписаними в коло, то АВ — діаметр.

∠АСО = ∠АBО (як кути, вписані у коло і спираються на спільну хорду АО).

∠АBО = 45° (властивість діагоналей квадрата).

∠ОАВ = ∠OCB (як кути, вписані у коло і спираються на спільну хорду ВО).

∠ОАВ = 45° (властивість діагоналей квадрата).

Тоді ∠АСО = ∠OCB = 45°.

Нехай △А₁С₁В₁ — трикутник, одержаний в результаті «ковзання» вершин А і В. Тоді: △АСВ = △А₁C₁В₁ звідси ∠CAB = ∠С₁А₁В₁, а ці кути відповідні при АС, А₁С і січній АВ, тому ACC₁A₁ — паралелограм, тому CC₁ ∥ AA₁. Отже, точка С переміщується по прямій, паралельній АВ. Оскільки «межі» ковзання обмежені, то т. С переміщується по відрізку.