ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

341. В паралелограм, який не є ромбом, вписати коло не можна, бо суми протилежних сторін нерівні.

Нехай ABCD — прямокутник, в який можна вписати коло. Доведемо, що ABCD — квадрат.

Якщо у чотирикутник ABCD можна вписати коло, то AB + CD = ВС + AD.

Оскільки AB = CD, ВС = AD (як протилежні сторони прямокутника), то 2АВ = 2ВС, AB = ВС. Якщо у прямокутника сусідні сторони рівні, то це квадрат.

Нехай дано ромб ABCD, навколо нього можна описати коло. Доведемо, що ABCD — квадрат. Якщо навколо чотирикутника ABCD можна описати коло, то ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°. ∠A = ∠C, ∠B = ∠D (як протилежні кути ромба).

2∠A = 2∠B = 180°, ∠A = ∠B = 90°.

Оскільки у ромба всі кути дорівнюють 90°, то це квадрат.

Навколо чотирикутника ABCD описано коло з центром О, де О — середина AD, і радіусом OD. У такого чотирикутника ∠BAD + ∠BCD = ∠ABC + ∠CDA = 180°. ∠BAD = 180° - ∠BCD, ∠BAD = 180° - 132° = 48°. ∠ADC - 180° - ∠ABC, ∠ADC = 180° - 108° = 72°. ∠ACD — вписаний і спирається на діаметр кола, тому ∠ACD = 90°. У прямокутного △ACD ∠CAD + ∠ADC = 90°, тоді ∠CAD = 90° - 72° = 18°. ∠ABD — вписаний і спирається на діаметр, тому ∠ABD = 90°. У прямокутного △ABD ∠BAD + ∠BDA = 90°, звідки ∠BDA = 90° - ∠BAD, ∠BDA = 90° - 48° = 42°.

У △МКР ∠KMP + ∠MNP + ∠MPK = 180°, звідки ∠MPK = 180° - (∠KMP + ∠MKP), тоді ∠MPК = 180° - (16° + 58°) = 106°. За властивістю протилежних кутів вписаного чотирикутника ∠MNK + ∠MPK = 180°, тоді ∠MNK = 180° - 106° = 74°. Кути ∠MPN і ∠MKN — вписані і спираються на одну дугу, тому ∠MKN = ∠MPN = 34°. Отже, ∠MKP = ∠NKM + ∠PKM, ∠NKP = 34° + 58° = 92°. ∠NMP + ∠NKP = 180°, тоді ∠NMP = 180° - 92° = 88°. Кути чотирикутника ∠M = 88°, ∠K = 92°, ∠N = 74°, ∠P = 106°.

У трапеції ABCD: ВС ∥ AD, AB = CD, AD — діаметр описаного кола. Нехай діагоналі трапеції перетинаються в точці М і ∠BMA = 56°. Трапеція рівнобічна, тому АС = BD і MA = MD, тому ∠MAD = ∠MDA. ∠BMA — зовнішній для △АМD, тому ∠MAD + ∠MDA = 56°, звідки ∠MAD = ∠MDA = 56° : 2 = 28°. Аналогічно ∠BMA — зовнішній для △ВМС, тому ∠MBC = ∠MCB = 28°. ∠ABD і ∠ACD — вписані, що спираються на діаметр, тому ∠ABD = ∠DCA = 90°. Отже, ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC, ∠ABC = 90° + 28° = 118°. ∠DAB + ∠ABC = 180°, тому ∠BAD = 180° - 118° = 62°. Кути при основі рівнобічної трапеції рівні, тому ∠AВС = ∠DCB = 118°, ∠BAD = ∠CDA = 62°.

Розглянемо чотирикутник АКНМ: ∠К + ∠М = 90° + 90° = 180°. Сума кутів чотирикутника 360°, тому ∠А + ∠Н = 360° - 180° = 180°. Отже, маємо чотирикутник, суми протилежних кутів якого дорівнюють по 180°, тому навколо цього чотирикутника можна описати коло. Отже, точки А, К, Н, М лежать на одному колі.

У трапецію ABCD, де ∠А = ∠В = 90°, вписано коло з центром Р і діаметром NH, де N і Н — точки дотику. Радіус OK ⟂ CD і СК = 8 см, KD = 50 см, ОК = 20 см. NH = ВА = 2ОК, ВА = 20 см • 2 = 40 см. Із точки С до кола проведено дві дотичні CN і СК, тому CN = СК = 8 см. Із точки D до кола проведено дотичні DH і DK, тому DH = DK = 50 см. AH = BN = OK = 20 см. Отже, ВС = BN + NC, ВС = 20 + 8 = 28 (см); AD = АН + HD, AD = 20 + 50 = 70 (см); CD = СК + KD, CD = 8 + 50 = 58 (см). PABCD = AB + BC + CD + AD, РABCD = 40 + 28 + 58 + 70 = 196 (см).


15