ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

1) У △АВС ∠А + ∠В + ∠С = 180°, звідки ∠С = 180° - (∠А + ∠В), ∠С = 180° - (36° + 72°) = 72°. У чотирикутника CFHE ∠С = 72°, ∠HFC = 90° (оскільки BF ⟂ АС), ∠НЕС = 90° (оскільки АE ⟂ ВС), ∠FHE + ∠НЕС + ∠C + ∠HFC = 360°, звідки ∠FHE = 360°- (∠HFC + ∠HEC + ∠C), ∠FHE = 360° - (90° + 90° + 72°) = 108°.

2) У △ABC ∠A + ∠B + ∠C = 180°, звідки ∠C = 180° - (∠A + ∠B), ∠C = 180° - (36° + 72°) = 72°. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника 90°, то △BFC (∠BFC = 90°) ∠FBC = 90° - ∠С, ∠FBC = 90° - 72° = 18°; у △АEC (∠АЕС = 90°) ∠ЕАС = 90° - ∠С = 90° - 72° = 18°. У чотирикутника АВСН ∠С + ∠НВС + ∠НАС + ∠АНВ = 360°, звідки: ∠АНВ = 360° - (∠С + ∠НВС + ∠НАС), ∠АНВ = 360° - (72° + 18° + 18°) = 252°.

Нехай задано чотирикутник ABCD з периметром РABCD = 80 см, діагональ BD розбиває його на △ABD з РABD = 36 см і △BDC з РBDC = 64 см. РABCD = AB + ВС + CD + AD, РABD = АВ + BD + AD, РBDC = ВD + DC + BC; PABD + РBDC = АВ + BD + AD + BD + DC + ВС = 2BD + АВ + ВС + DC + AD = 2BD + 2BD + PABCD. Тоді 36 + 64 = 2BD + 80, звідки 2BD = 100 - 80, 2BD = 20, BD = 10. Отже, BD = 10 см.

23. 1) 9 дм = 2 дм + 3 дм + 4 дм, отже, сторони чотирикутника не можуть мати такі довжини; 2) 10 дм > 2 дм + 3 дм + 4 дм, отже, сторони чотирикутника не можуть мати такі довжини.

Відповідь: 1) ні; 2) ні.

а) Нехай бісектриси ВК і DL опуклого чотирикутника ABCD паралельні. ∠АВК = ∠СВК, ∠ADL = ∠CDL, ВК ∥ DL. Тоді ∠CLD = ∠СВК, як відповідні при паралельних прямих ВК і DL і їх січній ВС, ∠АКВ = ∠ADL, як відповідні при паралельних прямих ВК і DL та їх січній AD. Розглянемо △АВК і △CLD: ∠АВК = ∠CLD, ∠АКВ = ∠CDL, тоді ∠А = ∠С, оскільки ∠А = 180° - (∠АВК + ∠АКС) = 180° - (∠CLD + ∠CDL) = ∠С. Отже, два інші кути чотирикутника рівні.

б) Нехай бісектриси кутів В і С лежать на одній прямій, отже, ВС — діагональ чотирикутника і ∠АВС = ∠DBC, ∠АСВ = ∠DCB. Тоді у △АВС ∠А = 180° - (∠АВС + ∠АСВ) = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = ∠D трикутника BDC. Отже, два інші кути чотирикутника рівні.

1) Побудуйте кут ∠B. 2) На сторонах ∠В від точки В відкладіть відрізки ВА і ВС. 3) Із точки С (центра кола) проведіть коло радіусом CD. 4) Із точки А (центра кола) проведіть коло радіусом AD. 5) Побудуйте точку D — точку перетину кіл. 6) ABCD — шуканий чотирикутник.

27. AB, AD, CD — сторони, АС і BD — діагоналі.

1) Побудуйте відрізок AD.

2) Із точки А, як із центра кола, проведіть коло з радіусом АВ.

3) Із точки В. як із центра кола, проведіть коло з радіусом DB.

4) Побудуйте точку В перетину кіл.

5) Із точки А, як із центра кола, проведіть коло з радіусом АС.

6) Із точки D, як із центра кола, проведіть коло з радіусом DC.

7) т. С — точка перетину кіл.

8) ABCD — шуканий чотирикутник.

АВ, ВС, CD, AD — сторони чотирикутника ABCD, АС — його діагональ.

1) Побудуйте відрізок AD.

2) Із точки А, як із центра кола, побудуйте коло з радіусом АС.

3) Із точки D, як із центра кола, побудуйте коло з радіусом DC.

4) Побудуйте точку С перетину кіл.

5) Побудуйте △АСD.

6) Із точки А як із центра кола побудуйте коло з радіусом АВ.

7) Із точки С як із центра кола побудуйте коло з радіусом СВ.

8) Побудуйте точку В перетину кіл.

9) ABCD — шуканий чотирикутник.

У чотирикутника ABCD задано кути ∠A і ∠B, сторони АВ і ВС і AM = AD = CD.

1) Побудуйте ∠A.

2) На одній стороні ∠A відкладіть від точки А відрізок довжиною АВ, отримаємо точку В.

3) На другій стороні ∠A відкладіть відрізок довжиною AM від точки А, отримаємо точку М.

4) Від сторони ВА відкладіть кут величиною В з вершиною в точці В у півплощині (відносно прямої ВА), яка містить точку М.

5) На утвореній стороні кута В відкладіть відрізок ВС.

6) З’єднайте точки С i М.

7) Побудуйте серединний перпендикуляр до відрізка CM.

8) Побудуйте точку D перетину AM і серединного перпендикуляру.

9) ABCD — шуканий чотирикутник.

Зауваження для доведення: DM = CD, тоді △CDM — рівнобедрений.

30. Різносторонні кути: ∠1 i ∠4, ∠2 i ∠3; односторонні кути: ∠2 і ∠4, ∠1 і ∠3.

1) ∠1 = ∠4. Якщо ∠1 = ∠4 (внутрішні різносторонні). За ознакою паралельності прямих маємо: а ∥ b, с — січна.

2) ∠1 = 20°, ∠3 = 170°. ∠1 і ∠3 — внутрішні односторонні. За ознакою паралельних прямих маємо ∠1 + ∠3 = 180°; 20° + 170° = 190° ≠ 180°. Отже, а та b не паралельні.

31. Для прямих BC i AD пряма CD є січною, тоді ∠C і ∠D — внутрішні односторонні кути. Оскільки ∠C + ∠D = 110° + 70° = 180°, то за ознакою паралельних прямих ВС ∥ AD. Що й треба було довести.

32. 1) Кути ∠А і ∠В є внутрішніми односторонніми при прямих AD і ВС та їхній січній АВ. Оскільки сума цих кутів 180°, то AD ∥ ВС.

2) Кути ∠B і ∠C є внутрішніми односторонніми при прямих АВ і CD та їхній січній ВС. Оскільки їхня сума 90° + 100° = 190° > 180°, то AB ∦ CD.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

33. У △ABD і △CDB: BD — спільна, ∠CBD = ∠ADB, BC = AD, отже, △ABD = △CDB за двома сторонами і кутом між ними. Тоді, AB = CD (що й треба було довести), ∠ABD = ∠CDB. Ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих АВ і CD та їхній січній BD. Тоді за ознакою паралельних прямих AB ∥ CD.


15