ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Скористаємося результатом задачі № 311 і знайдемо всі точки площини, щоб ∠АВС = ∠В.

Побудована дуга містить такі точки В, що ∠ABC — даний кут; АС — дана сторона. З будь-якої точки N відрізка АС побудуємо перпендикуляр в одну півплощину з дугою, і на цьому перпендикулярі відкладемо від точки N відрізок ND = h. Через т. D проведемо пряму а, а ∥ АС. Пряма а перетне дугу в т. В₁ і В₂. △АВ₁С і △АВ₂С — шукані трикутники.

скориставшись результатом задачі № 311, знайдемо множину всіх точок В, які задовольняють умові ∠ABC = ∠B. АС — дана сторона. Поділимо АС навпіл. М — середина АС. Коло з центром М радіусом ВМ перетне дуги в шуканій т. В. Таких трикутників чотири.

За результатом задачі № 311: якщо відомо сторону BD і кут А, можна знайти множину усіх точок А, таких, щоб ∠BAD дорівнював би даному куту.

1) Якщо АВ — гіпотенуза цього трикутника, то всі шукані точки X лежать на колі, побудованому на АВ, як на діаметрі (за виключенням т. А і т. В).

2) Якщо АХ — гіпотенуза, то всі точки X лежать на прямій, яка проходить через т. В (крім т. В) і перпендикулярна АВ.

3) Якщо ВХ — гіпотенуза, то всі точки X лежать на прямій, яка проходить через т. А і перпендикулярна АВ (крім т. А).

Отже, ГМТ, які задовольняють умові, складаються з кола і двох прямих (за винятком т. А і т. В).

О — центр кола, вписаного в △АВС, тому О лежить на бісектрисах кутів А, В, С. Звідси ∠САО = ∠ВАО = α, ∠АСО = ∠ВСО = β. ∠DCB = ∠DAB (вписані, спираються на одну дугу), ∠OCD = α + β, ∠COD — зовнішній кут △АОD при вершині О, ∠COD = ∠АСО + ∠ОАС = α + β. Звідси △OCD — рівнобедрений, тому CD = DO. ∠CBD = ∠CAD (вписані, спираються на одну дугу), тому ∠CBD = α, △CDB — рівнобедрений, CD = DB. Отже, CD = DO = DB.

Побудуємо коло з центром О₁, радіусом, що дорівнює R₁ - R₂. Через т. О₂ проведемо дотичну до побудованого кола. Для цього відрізок O₁O₂ розіб’ємо навпіл, О₃ — середина О₁О₂. Коло з центром О₃, радіусом O₃O₁ перетне коло з радіусом R₂ - R₁ в т. N, O₂N — дотична, бо ∠O₁NO₂ = 90°. Продовжимо радіус O₁N до перетину з даним колом з центром в т. А — точка дотику. Через т. А проведемо пряму, паралельну NО₂. Ця пряма дотикається до кола (2) в т. В. АВ — шукана дотична.

Нехай АК = 3х (см), ВК = 2х (см). АВ = АК + КВ, АВ = 3х + 2х = 5х (см). АК = АР = 3х (см), ВК = BN = 2х (см) PC = CN = 5 см.

За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ВС = BN + NC, ВС = 2х + 5 (см), AC = АР + PC, AC = 3x + 5 (см). P_△ABC = AB + ВС + AC. 5x + 2x + 5 + 3x + 5 = 30; 10x + 10 = 30; 10x = 30 - 10; 10x = 20; x = 20 : 10; х = 2. Отже: АВ = 5 • 2 = 10 (см), ВС = 2 • 2 + 5 = 9 (см), АС = 3 • 2 + 5 = 11 (см).

△OEM = △OFM (прямокутні), ОМ — спільна гіпотенуза, OF = ОЕ — катети, як радіуси одного кола, звідси: FM = ME. Аналогічно EN = QN, QP = PL, LD = DV, VZ = ZG, GK = KF. Р_△ABC = АВ + ВС + АС = AZ + ZG + GK + KB + BM + ME + EN + NC + CP + PL + LD + DA = P₁ + Р₂ + Р₃.