ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

О — середина АВ, коло з центром О і радіусом АО перетинає АС в точці М, а ВС — в точці К. Тоді ∠BKA — вписаний кут і він спирається на АВ, яка є діаметром кола, отже, ∠BKA = 90°, АК — висота △АВС. ∠AMB — вписаний, що спирається на діаметр. Отже, ∠AMB = 90°, ВМ — висота △АВС.

∠ACK = ∠BCK, тоді СК — бісектриса △АВС. ∠AKC — вписаний і спирається на діаметр АС, тоді ∠AKC = 90°. Отже, СК — висота і бісектриса △АВС. Тоді △АВС — рівнобедрений.

ВС = CD = AD — як сторони квадрата, тоді ∪BC = ∪СВ = ∪AD. Звідси ∠CMB = ∠CMD = ∠AMD як вписані кути, що спираються на рівні дуги.

За допомогою косинця побудуємо в колі прямий кут ABC, тоді АС — діаметр кола. За допомогою косинця побудуємо в цьому ж колі вписаний прямий кут BCD, тоді BD — діаметр кола. Точка перетину діаметрів АС і BD є шуканим центром кола.

З’єднаємо точку А і С, відрізок АС перетне коло в т. К; ВК ⟂ AK, бо ∠AKB = 90°. Тому ВК — висота △АВС. Аналогічно: АР — висота △АСВ, Z — точка перетину висот ВК і АР, висота, проведена з вершини С пройде через Z. Проводимо пряму CZ; CZ ⟂ АВ.