ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Нехай хорда АВ стягує дугу АМВ, а хорда CD — дугу CND і ∪AMB = ∪CND. Проведемо відрізок АС і відрізки ВС і AD, які перетинаються в точці К. ∠DAC = ∠ВСА як вписані, що спираються на рівні дуги. Тоді △АКС — рівнобедрений з основою АС і АК = КС. Тоді △АКС — рівнобедрений з основою АС і АК = КС. ∠АВС = ∠ADC як вписані, що спираються на одну дугу. У △АВК і △CDK ∠ВКА = ∠DKC як вертикальні, ∠АВК = ∠CDK, тоді ∠ВАК = ∠DCK, АК = КС. Отже, △АВК = △CDK за стороною і прилеглими до неї кутами, звідки AB = DC.

1) Точка перетину діаметрів кола О ділять ці діаметри навпіл. Для чотирикутника АС і BD — діагоналі, які перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, тоді ABCD — паралелограм; у нього ∠BCD = 90°, оскільки спирається на діаметр. Отже, ABCD — прямокутник.

2) ∠ABD = 80°, тоді ◡АD = 80° • 2 = 160°. ∠BCD = 90°, ◡BAD = 90° • 2 = 180°. ◡ABD = ◡AB + ◡AD, звідки ◡AB = ◡ABD - ◡AB , ◡AB = 180° - 160° = 20°. У прямокутника протилежні сторони рівні, тоді вони стягують рівні дуги. Отже, ◡AB = ◡CD = 20°, ◡AD = ◡BC = 160°.

∠САО = 32°, тоді ∠ACB = 90°, ∠ABC = 90° - 32° = 58°. Тоді ◡AB = 180°, ◡BC = 64°, ◡AD = 160°. △BAD — прямокутний, ∠BAD = 10°, тоді ∠CAD = 32° + 10° = 42°, звідси ◡CB = 84°.

∠ABC — вписаний, ∠ABC = 90°, тоді відповідний центральний ∠AOC = 90° • 2 = 180°, тобто розгорнутий. О — центр кола, точки А і С лежать на одній прямій. Отже, AC — діаметр.

∠ВМС — вписаний, тоді дуга, на яку спирається ∠ВМС, дорівнює 2 • ∠ВМС = 200°, тобто ◡ВКС = 200°. Відповідний цій дузі центральний кут має градусну міру 200° і складається з двох кутів ∠BOA + ∠AOC, ∠AOC = 180° (розгорнутий), тоді ∠BOA = 200° - 180° = 20°. △АВО — прямокутний, OB ⊥ АВ. ∠ABO = 90°, ∠ВОА = 20°, тоді ∠BAO = 90° - 20° = 70° або ∠BAC = 70°.