ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Нехай через т. В паралелограма ABCD проведено пряму l і на неї опущено перпендикуляри АК, DM і CN, АК = а, NC = b. Проведемо через точку D пряму, паралельну l і опустимо на неї перпендикуляр АК₁ і CN₂, NN₁ ∥ КК₁, тоді ∠К₁АС = ∠NСА як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній AC. ∠ВСА = ∠CAD як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD та січній АС, тоді ∠NСВ = ∠K₁AD. У △BNC і △DK₁A AD = ВС, ∠BNC = ∠DK₁A = 90°, ∠NCB = ∠К₁AD, тоді △BNC = ∠DК₁А, звідки NC = АК₁; КК₁ = КА + АК₁, КК₁ = а + b. KM ∥ K₁D, КК₁ ∥ MD, тоді KMDK₁ — прямокутник і DM = КК₁ = а + b. Отже, відстань від т. D до прямої l = а + b.

Відповідь: а + b.

О — центр кола, ОС = ОА = OB = OD як радіуси одного кола.

∠АОС = ∠ВОD (як вертикальні), тоді △АОС = △BOD (за І ознакою рівності трикутників), з цього виходить, що АС = BD, ∠САО = ∠DВО. Ці кути внутрішні різносторонні при прямих АС і BD та січній АВ. Оскільки ці кути рівні, то AC ∥ BD.

273. △AОВ — рівнобедрений, бо ОА = OС (радіуси одного кола).

Звідси ∠ОАС = ∠ОСА, ∠ВОС — зовнішній кут △АОС при вершині О, ∠ВОС = ∠ОАС + ∠ОСА або ∠ВОС = 2 • ∠ОАС, бо ∠ОАС = ∠ОСА.

АВ — дотична до кола, С — точка дотику, ОС ⊥ АВ. △ОСА = △ОСВ (прямокутні за катетами), СА = СВ за умовою. З рівності трикутників: ОА = ОВ. ОС ⊥ АВ. △ОАК = △ОВК (прямокутні).

ОК — спільний катет, ОА ОВ — гіпотенузи (радіуси одного кола). Звідси АК = КВ. Тоді АОВС — паралелограм, бо діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Але АО = ОВ, тому АОВС — ромб. У △АОС: ОА = ОС (ОА = АС, бо це ромб, а ОА = ОС — радіуси одного кола). △АОС — рівносторонній, тоді ∠А = 60°. У ромба АОВС: ∠ОАС = ∠ОВС = 60°, ∠АОВ = ∠АСВ = 120°.