ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

262. Нехай у трапеції ABCD АВ = CD, АС ⊥ ВD і діагоналі перетинаються в точці О. Проведемо через т. О PH ⊥ АD, Р є ВС, Н є AD, PH — висота трапеції. У рівнобічної трапеції діагоналі рівні, тоді △АВD = △DСА (АD — спільна, АС = ВD, AB = CD), з чого виходить, що ∠OAD = ∠ODA, тоді △AOD — рівнобедрений і АО = DO. Оскільки AC = BD, AO = DO, то ВО = СО і △ВОС також рівнобедрений.

264. Нехай у трапеції ABCD AB ⊥ AD, AC = CD = AD = a. У △ACD ∠CAD = 60°, тоді ∠ВСА = 60°, бо вони рівні як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD та січній АС. У △АВС ∠АВС = 90°, ∠ВСА = 60°, тоді ∠BAC = 90° - 60° = 30°, ВС — катет, що лежить проти кута в 30°, тоді

Побудуємо трикутник за трьома сторонами: 1) різниця основ; 2)бічна сторона; 3) бічна сторона.

Побудуємо відрізок АР за т. Р. Проведемо пряму а через т. В, паралельну АР.

На промені АР за точку Р відкладемо відрізок, довжина якого дорівнює меншій основі. Одержимо т. D. На прямій а від точки В відкладемо відрізок, довжина якого дорівнює меншій основі ВС. Одержимо т. С. Проведемо відрізок CD. ABCD — шукана трапеція.

Побудуємо відрізок AD — основу трапеції. З будь-якої точки відрізка AD побудуємо перпендикуляр до AD і на ньому відкладемо відрізок, довжина якого дорівнює висоті. Через кінець перпендикулярного відрізка, який не лежить на AD проведемо пряму b ∥ АD. На цій прямій лежить друга основа трапеції. Коло з центром А, радіусом АС перетне b в т. С. Коло з центром D, радіусом DВ перетне b в т. В. Побудуємо відрізки АВ і СD. ABCD — шукана трапеція.

Нехай АВСD — трапеція, тоді АК — різниця основ. ВС = KD, ВС ∥ KD, звідси BCDK — паралелограм і ВК = CD.

У △АВК: AB; ВК — дані бічні сторони; АК — різниця основ.

Задача зводиться до побудови △АВК за трьома сторонами. Продовжимо сторону АК за т. К. Через т. В проведемо пряму, а ∥ АК. Коло з центром А, радіусом, що дорівнює даній діагоналі перетне пряму а в т. С. На продовженні АК за т. К відкладемо KD = ВС. Побудуємо відрізок CD. ABCD — шукана трапеція.

Побудуємо відрізок AD. З будь-якої точки відрізка AD проведемо перпендикуляр до AD і відкладемо відрізок довжиною h. Через кінець перпендикуляра, що не належить AD, проведемо пряму а ∥ AD. Коло з центром А, радіусом, що дорівнює бічній стороні, перетне а в т. В. Коло з центром D, радіусом, що дорівнює бічній стороні, перетне а в т. С. Будуємо відрізки АВ, ВС, CD.

ABCD — шукана трапеція.

Нехай ABCD — побудована дана трапеція. Якщо через т. С провести СК ∥ BD, то BCKD — паралелограм, DK = DC, тоді сторони △АСК: АС, СК — діагоналі, а АК — сума основ. Побудуємо △АСК за трьома сторонами. Через т. С проведемо пряму, паралельну АК і відкладемо на ній СВ, що дорівнює меншій основі. Побудуємо відрізок АВ. Через т. В проведемо BD ∥ CD, BD перетне АК в т. D. ABCD — шукана трапеція.

Побудуємо відрізок АР, довжина якого дорівнює подвоєній довжині середньої лінії. З будь-якої точки відрізка АР побудуємо перпендикуляр і на ньому відкладемо відрізок, довжина якого дорівнює висоті. Через кінець перпендикуляра, який не належить АР, проведемо пряму а ∥ АР. На прямій а лежить друга основа трапеції. Коло з центром А радіусом АВ (бічна сторона) перетне пряму а в т. В. Поділимо АВ навпіл, М — середина АВ, проведемо пряму через т. М, паралельно АР. Ця пряма перетне ВР в т. N, MN — середня лінія. Коло з центром N, радіусом, що дорівнює половині другої бічної сторони (¹/₂СD), перетне пряму а в т. С, відрізок АР — в т. D.

ABCD — шукана трапеція.

Нехай ABCD — дана трапеція, в якій відомо основу AD, ∠BAD, сторони АВ, CD. Побудуємо кут BAD. На стороні АD відкладемо основу АD, на стороні АВ — сторону АВ. Коло з центром В, радіусом, який дорівнює СD, перетне АВ в т. К. ВК = СВ. Через т. В проведемо пряму а, паралельну АВ і відкладемо від т. В на прямій а в одну півплощину з т. D (відносно АВ) відрізок ВС, який дорівнює KD. Побудуємо відрізок СD.

ABCD — шукана трапеція.

Нехай ABCD — трапеція, у якої дано бічні сторони АВ і СD, висоту ВК, діагональ АС. Побудуємо дві паралельні прямі а і b на відстані, яка дорівнює ВК, одна від одної. На нижній прямій b виберемо довільну точку А. Коло з центром А, радіусом АВ перетне пряму а в т. В. Коло з центром А радіусом АС перетне пряму b в т. С. Коло з центром С радіусом СD перетне пряму в точці D. ABCD — шукана трапеція.