ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

244. У заданої трапеції m = 14 см, основи а і b такі, що а : b = 3 : 4. Позначимо коефіцієнт пропорційності основ як х, тоді а — 3х cм, b — 4х см. Маємо: 2m = а + b, 3х + 4х = 28, 7х = 28, х = 4. Отже, а = 4 • 3 = 12 (см), b = 4 • 4 = 16 (см).

ABCD — прямокутна трапеція, AB ⊥ AD, CH — висота і АН = 7 cм, HD = 5 см. CH ∥ АВ, тоді АВСН — прямокутник і ВС = АН = 7 см. AD = АН + HD, AD = 7 + 5 = 12 (см). Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тоді вона дорівнює (ВС + AD) : 2 = (7 + 12) : 2 = 9,5 (см).

Нехай у трапеції ABCD AB ⊥ АD, СН — висота і AH = 2HD. Позначимо довжину HD як х см, тоді АН — 2х см. AD = АН + HD, тоді AD = 3х см. Оскільки CH ∥ AB, то ВС = АН, тоді ВС = 2х см. Сума основ трапеції дорівнює подвоєній середній лінії, тоді АD + ВС = 18 см, 3х + 2х = 18, 5х = 18, х = 3,6. Отже, AD = 3,6 • 3 = 10,8 (см), ВС = 3,6 • 2 = 7,2 (см).

У рівнобічної трапеції діагоналі рівні, тому АС = BD, і рівні кути при основі, тому ∠BAD = ∠CDA. Розглянемо △ABD і △DCA: AD — спільна. АС = BD, AB = CD, тоді △ABD = △DCA за трьома сторонами, звідки ∠BDA = ∠CAD. ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD, ∠CBD = ∠CDA - ∠CDB. Оскільки ∠BAD = ∠CDA, ∠CAD = ∠BDA, то ∠BAC = ∠CDB. Розглянемо △АВО і △DCO: AB = CD, ∠ВАО = ∠CDO за доведеним, ∠ВОА = ∠COD як вертикальні, тоді ∠ABO = ∠DCO і △АВО = △DCO за стороною і прилеглими до неї кутами, звідки AO = OD, ВО = ОС.

Нехай у трапеції ABCD AB = CD, ВН — висота, ВН = h, O — точка перетину діагоналей і ∠ВОА = 60°.

∠BOA — зовнішній кут △AOD, тоді ∠OAD + ∠ODA = 60°. За доведеним у задачі 248 ∠OAD = ∠ODA, тоді ∠ODA = 60° : 2 = 30°. △BHD — прямокутний, ВН — катет, що лежить проти кута в 30°, тоді

У трапеції ABCD: AB = CD, ВС : AD = 2 : 5, ∠BCA = ∠DCA, РABCD = 6 см. ∠CAD = ∠BCA як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та січній АС. Оскільки ∠BCA = ∠DCA, то ∠CAD = ∠DCA і △ACD — рівнобедрений з основою АС, тобто AD = CD. Нехай ВС = 2х см, AD = 5х см, CD = 5х см. РABCD = ВС + AD + 2CD, РABCD = 2х + 5х + 10х = 17х = 68, звідки х = 4. Тоді ВС = 4 • 2 = 8(см), AD = 4 • 5 = 20 (см), AB = CD = 20 см.


15