ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

7. Середня лінія трикутника

189. МК — середня лінія △АВС.

190. Ні, оскільки точка F не є серединою сторони КР.

191. Так. Оскільки DE — середня лінія, то точка D — середина AB, Е — середина ВС. Оскільки DF — середня лінія, то F — середина АС. Тоді FE — відрізок, що з’єднує середини сторін ВС і АС, тому FE — середня лінія.

Р△ABC = АВ + ВС + АС = 2АМ + 2АК + 2МК = 2(АМ + АK + МК) = 2 • 17 = 34 (см).

195. Якщо середні лінії трикутника рівні, то рівні й протилежні їм сторони. Отже, даний трикутник — рівносторонній.

У △АВС К — середина AB, L — середина ВС, М — середина АС, тоді АК = КВ, BL = LC, AM = МС як половини сторін, ML = АК, KL = AM, KM = LC за властивістю середньої лінії трикутника. Розглянемо △KNL, △АКМ, △LMK, △MLC: КВ = АК = LM = ML, KL = AM = МС, а для △KBL і △LMK вона спільна, BL = KM = LC, а для △LMK і △АКМ вона спільна. Тоді △KBL = △АКМ = △LMK = △MLC за трьома сторонами.

У △АВС Е — середина АВ, F — середина АС, а висота АМ перетинає EF в точці О. EF — середня лінія △АВС, тоді EF ∥ ВС. За умовою АМ ⊥ ВС, тоді AM ⊥ EF (якщо пряма перпендикулярна до однієї із паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої).

MN ⊥ NP, MN = NP, MN і NP — середні лінії, тоді MN ∥ СВ, a NP ∥ АС. Звідси АС ⊥ СВ. Отже, △АСВ — прямокутний. MN = NP, СВ = 2MN, АС = 2NP. Тоді СВ = АС. Отже, △АСВ — рівнобедрений. У рівнобедреного прямокутного трикутника кути 45°, 45°, 90°.


15