ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

6. Квадрат

165. Якщо один із кутів ромба прямий, то сусідні з ним також прямі, бо в сумі вони дають 180°, протилежний також прямий, бо вони рівні. Отже, всі кути ромба по 90°. Тому цей ромб є квадратом.

166. Якщо дві сусідні сторони прямокутника рівні, то всі сторони цього прямокутника рівні, тоді це — квадрат, бо всі сторони рівні і всі кути прямі.

170. 1) Так; 2) ні; 3) ні; 4) так; 5) так; 6) ні; 7) ні; 8) ні; 9) ні; 10) так; 11) так; 12) так.

171. MP ∥ BD, KS ∥ BD ⇒ MP ∥ KS. Аналогічно KM ∥ PS.

Тоді KMPS — паралелограм.

КМСА і BMPD також паралелограми, тоді КМ = АС і МР = BD, оскільки АС = BD, то KM = МР. У паралелограма сусідні сторони рівні, отже, цей паралелограм — ромб. KM ∥ AC, MP ∥ BD, АС ⊥BD, тому КМ ⊥ РМ. Отже, у ромба KMPS кути по 90°, тому KMPS — квадрат.

Нехай у △АВС ∠C = 90°, СК — бісектриса, KN ∥ AC, N є СВ, а МК ∥ ВС, М є АС. KN ∥ MC, MK ∥ CN, тоді CMNK — паралелограм. СК — діагональ прямокутника, що є бісектрисою, тоді CMKN — квадрат.

△KCN, △NDP, △MАР. ∠B = ∠C = ∠D = ∠A, МВ = КС = ND = АР = ВК = CN = PD = МА, тоді △МВК = △KCN = △NDP = △МАР за двома катетами, звідки МК = KN = NP = МР. За доведеним вище чотирикутник, сторони якого рівні, є ромбом. Отже, MKNP — ромб. △MАР і △МВК — рівнобедрені, оскільки їх катети — половини сторін квадрата, тоді ∠АМР = 45°, ∠ВМК = 45°. ∠ВМА — розгорнутий і ∠ВМА = ∠ВМК + ∠КМР + АМР, звідки ∠КМР = 180° - (∠ВМК + ∠AMP) = 180° - 90° = 90°. Тоді у ромба MKNP ∠КМР — прямий, отже, MKNP — квадрат.

У квадраті точку М взято так, що AB = ВМ = AM, тоді ∠ВАМ = ∠АВМ = ∠ВМА. Розглянемо △ВМС і △АМD: ВМ = AM, ВС = AD як сторони квадрата, ∠CBM = 90° - ∠ABM, ∠DAM = 90° - ∠ВАМ, отже, ∠СВМ = ∠DAM. Тоді △ВМС = △AMD за двома сторонами і кутом між ними, звідки МС = MD. Отже, △CMD — рівнобедрений.

ABCD — паралелограм, у якого АС = BD і AC ⊥ BD, тоді цей паралелограм є прямокутником і ромбом, тобто прямокутником з рівними сторонами, тоді ABCD — квадрат.

177. У квадратів ABCF AB + ВС + CD = 3ВС, у DEFM DE + EF + FM = 3EF, у MNKL MN = NK + KL = 3NK, у LPOS LP + PO + OS = 3РО, у SQTV SQ + QT + TV = 3QT. 3(AD + DM + ML + LS + SV) = 3AV. За умовою АV = 16 см, тоді шукана сума сторін 3AV= 16 • 3 = 48 (см).

Побудуємо прямий кут А і на його сторонах відкладемо відрізки АВ і AD заданої величини (сторони квадрата). Із точок В і D проведемо кола радіусом, що дорівнює АВ. Точку перетину кіл позначимо С. З’єднаємо послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий квадрат.

∠BAK = 45°, тоді ∠ВКА = 45°, ∠BCP = 45°. Звідси: АК ∥ СР, аналогічно PN ∥ DC. EF ∥ RS і FS ∥ ER, звідси EFSR — паралелограм.

У △ВЕК: ∠КВЕ = 45°, ∠ВКЕ = 45°, тому ∠ВЕК = 90°. ∠FER — суміжний з ∠ВЕК. Тому ∠FER = 90°, звідси EFSR — прямокутник.

△ВАN = △CDP, звідси BN = СР;

△ВЕА = △CSD, звідси BE = CS.

RN = RP (△PRN — рівнобедрений). Звідси ER = RS. Отже, EFSR — квадрат, бо у прямокутнику сусідні сторони рівні.

△АВМ = △ADK — прямокутні, ∠B = ∠D = 90°, АВ = AD, AM = AK за умовою, тоді △АВМ = △ADK за гіпотенузою і катетом, звідки ВМ = DK. МС = ВС - ВМ, КС = DC - DK, а оскільки ВС = DC, ВМ = DK, то МС = КС і △МСК — рівнобедрений прямокутний з основою МК, тоді ∠СМК = ∠СКМ = 45°. Проведемо діагональ квадрата BD, вона є бісектрисою ∠B, тоді ∠CBD = 45°, а ∠CMK = ∠CBD. Ці кути відповідні при прямих BD і МК та січній ВС. Отже, ВМ ∥ BD за ознакою паралельності прямих.


15