ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

У ромба Е є АВ, F є AD, AB = AD, АЕ = AF, тоді BE = АВ - АЕ = AD - AF = FD. Розглянемо △ЕВС і △FDC: ЕВ = FD, ВС = CD, ∠В = ∠D, тоді △ЕВС = △FDC, звідки EC = FC. Тоді △ECF — рівнобедрений з основою EF. Отже, ∠СЕF = ∠СFЕ.

У △АВС АМ — бісектриса ∠А. МК ∥ АС, К є АВ, MD ∥ АК, D є АС. У чотирикутника AKMD сторони лежать на паралельних прямих, тому AKMD — паралелограм, AM — його діагональ, яка є бісектрисою кута ромба, AKMD — ромб за ознакою. KD — друга діагональ ромба, KD ⊥ AM за властивістю діагоналей ромба.

AF — бісектриса ∠A, тоді ∠BAE = ∠EAF, ∠ЕАF = ∠ВFА. як внутрішні різносторонні при BF ∥ АЕ та січній АF, тоді ∠ВАF = ∠BFA, △ABF — рівнобедрений і АВ = BF. BE — бісектриса ∠B, тоді ∠FВЕ = ∠АВЕ, ∠АЕВ = ∠FВЕ, як внутрішні різносторонні при BF ∥ АЕ та січній BE, тоді ∠AЕВ = ∠АВЕ, △АВЕ — рівнобедрений і АВ = АЕ. Відрізки BF ∥ АЕ, BF = АЕ, тоді ABFE — паралелограм. Оскільки у нього сусідні сторони АВ = BE, то ABFE — ромб за означенням.

У △КВР ВО — бісектриса і висота, тоді △КВР — рівнобедрений, КВ = ВР. У △BPD ОР — висота і медіана, тоді △BPD — рівнобедрений і BP = PD. У △DKB КО — медіана і висота, тоді △DKB — рівнобедрений і DK = КВ. Маємо: DK = КВ = ВР = DP. Чотирикутник, усі сторони якого рівні, є ромбом. Отже, BKDP — ромб.

1) Побудуємо ∠А. На сторонах ∠А відкладемо сторони АВ і AD = АВ.

Коло з центром В і радіусом АВ перетне коло з центром D і радіусом АВ в т. С. ABCD — шуканий ромб.

Побудуємо дві взаємно перпендикулярні прямі а і b. О — точка їх перетину. На прямій а від т. О по різні сторони відкладемо відрізки, довжини яких

Побудуємо ∠BAD. На промені AD візьмемо довільну точку, проведемо через неї перпендикуляр до AD, на якому відкладемо відрізок, рівний ВК. Через кінець відрізка, який не належить AD, проведемо пряму а, паралельну AD. Ця пряма перетне АВ у т. В. АВ — сторона ромба. На промені АВ відкладемо відрізок AD = AB. Через т. D проведемо пряму b, паралельну АВ, a i b перетнуться у т. С. ABCD — шуканий ромб.

Побудуємо △АВD за трьома сторонами. Поділимо BD навпіл (О — середина BD). Побудуємо промінь АО і на продовженні (за т. О) відкладемо ОС = АО.

1) Побудуємо пряму а і позначимо на ній точку К.

2) Через т. К проведемо перпендикуляр до а і на ньому відкладемо відрізок КВ.

3) Коло з центром В, радіусом BD перетне пряму а в т. D, BD — діагональ, О — середина BD. Проведемо через т. О пряму, перпендикулярну до ВD. Ця пряма перетне пряму а в т. A. AD — сторона ромба. АВ — сторона ромба.

4) На промені АО за т. О відкладемо ОС = ОА.

ABCD — шуканий ромб.

Побудуємо заданий кут із вершиною А. Побудуємо його бісектрису, на якій відкладемо відрізок АС, що дорівнює діагоналі ромба. Через точку С проведемо прямі, паралельні сторонам кута. Точки перетину прямих із сторонами кута, позначимо В і D. З’єднаємо послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий ромб.

Побудуємо ∠КAM заданої величини. Побудуємо промінь АЕ, доповнювальний до променя AM. Побудуємо бісектрису ∠ЕАК, відкладемо на ній відрізок АС, що дорівнює заданій діагоналі. Побудуємо серединний перпендикуляр відрізка АС. Точки його перетину з променем АЕ і променем АК позначимо як В та D. З’єднаємо послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий ромб.

Нехай ABCD — шуканий ромб, тоді △АВО — прямокутний, OB, ОА — половини діагоналей ромба. AM — половина різниці діагоналей, тоді ОВ = ОМ і △МВО — рівнобедрений, тому ∠ВМО = 45°. Отже, щоб побудувати ромб, треба: побудувати кут А, на його бісектрисі АС відкласти відрізок (від т. А), довжина якого дорівнює половині різниці діагоналей. Це відрізок AM. Від променя МС в обидві півплощини відкладемо кути по 45° (половина прямого кута). Сторони цих кутів, відмінні від МС, перетнуть сторони кута А в точках B i D. Через т. В проведемо пряму а, паралельну AD, а через D — пряму b, паралельну АВ. а і b перетнуться в т. С. ABCD — шуканий ромб.

Нехай ABCD — шуканий ромб. Тоді AB1 — половина суми діагоналей, тоді OB1 = OB. △ВОВ1 — прямокутний рівнобедрений. ∠OB1В = 45°. Задача зводиться до побудови △ABB1 за стороною АВ1 — половина суми діагоналей, ∠AB1В = 45° (половина прямого кута) і стороною АВ. Проведемо відрізок АВ1. Від променя B1A відкладемо в одну з півплощин кут BB1A = 45°. Коло з центром А, радіусом АВ, перетне сторону B1B в т. В. З т. В проведемо перпендикуляр ВО до АВ1. На продовженні ВО від т. О відкладемо OD = ОВ. А, B, D — вершини ромба. Добудуємо ромб ABCD. На промені АО від т. О відкладемо ОС = ОА. ABCD — шуканий ромб.

Нехай ABCD — даний ромб. Якщо AM — півсума діагоналей, то △OMD — рівнобедрений, прямокутний і ∠AMD = 45°.

Суміжний з тупим кутом ромба — гострий кут ромба А.

Побудуємо кут, суміжний з тупим кутом ромба і на його бісектрисі відкладемо відрізок AM, довжина якого дорівнює півсумі діагоналей. Від променя МА в обидві півплощини відкладемо кут 45°. Сторони кутів 45° перетнуть сторони гострого кута А в точках В і D. A, В, D — вершини ромба ABCD. BD перетне бісектрису гострого кута в т. О. На бісектрисі гострого кута від т. О в півплощину, яка не містить т. А відкладемо ОС = ОА. ABCD — шуканий ромб.

Якщо ABCD — даний ромб, то АК — піврізниця діагоналей, тоді BO = OK. △ВОК — прямокутний, рівнобедрений, ∠ВКО = 45°, тоді ∠АВК = 135°(90° + 45°). Побудуємо кут 135°. На одній із сторін ∠ВКА відкладемо відрізок КА, який дорівнює піврізниці діагоналей. Побудуємо коло з центром А радіусом АВ. Це коло перетне іншу сторону кута ВКА в точці В. Побудували △АКВ. Побудуємо промінь АК. Побудуємо ВО ⊥ АК. На промені ВО від т. О відкладемо OD = ВО. А, В, D — вершини ромба. Добудуємо вершину С. ABCD — шуканий ромб.

△DAC і △DBA — прямокутні.

∠DBA = ∠DCA = 90°; AC = AB (за умовою); AD — спільна сторона. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: △DАС = △DВА. За властивістю рівних фігур маємо: ∠DAC = ∠DAB. Отже, маємо: AD — бісектриса ∠САВ.

Якщо AD = АВ, то △DBA — рівнобедрений і тому ∠ADB = ∠ABD = 15°, ∠BAC є зовнішнім кутом ∠DAB, тому ∠BAC = ∠DBA + ∠BDA = 15° + 15° = 30°. AB = AD. Аналогічно з △ВСE: ВС = СЕ і ∠ВСА = 36° + 36° = 72°. ВС = СЕ.

У △АВС: ∠А = 30°, ∠С = 72°, ∠В = 180° - (30° + 72°) = 78°.

РABCD = AB + BC + AC = AD + АС + СЕ = DE = 18 см. Отже, Р = 18 см.

Кути трикутника: 30°, 72°, 78°.


15