ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

5. Ромб

АК і AN — висоти, проведені з вершини гострого кута. ВР і ВМ — висоти, проведені з вершини тупого кута.

ABCD — паралелограм, у якого АВ = ВС. Протилежні сторони паралелограма попарно рівні, отже, AB = CD, ВС = AD, тоді АВ = ВС = AD = CD. Отже, ABCD — ромб.

138. У чотирикутника ABCD: АВ = BC = CD = AD.

АВ = CD, BC = AD, тоді ABCD — паралелограм. Паралелограм, у якого всі сторони рівні, є ромбом.

139. Якщо ∠DАС = 42°, діагональ АС — бісектриса ∠А, тоді ∠А = 2∠D, ∠А = 42° • 2 = 84°, тоді ∠С = 84°. У ромба ∠А + ∠D = 180°, тоді ∠D = 180° - ∠А, ∠D = 180° - 84° = 96°, ∠В = 96°.

∠С = ∠А = 140°. АС — бісектриса ∠А. ∠ВАО = 140° : 2 = 70°, ∠ВОА = 90° (BD ⊥ АС). ∠АВО = 90° - 70° = 20°.

У ромба ABCD: АС = АВ, а АВ = ВС. △АВС — рівносторонній, отже, ∠В = 60°, ∠D = ∠B = 60°; ∠А і ∠B — прилеглі до однієї сторони, тоді ∠A + ∠B = 180°, звідки ∠А = 180° - ∠В, ∠A = 180° - 60° = 120°, ∠С = ∠А = 120°.

△BAD — рівносторонній. Маємо: BD = АВ = DC = 9 см. РABCD = 4АВ, PABCD = 9 • 4 = 36 (см).

За умовою ∠D = 8∠CAD. У ромба ABCD діагональ AС — бісектриса ∠BAD, тоді ∠BAD = 2∠CAD. ∠BAD і ∠D — прилеглі до однієї сторони ромба, тоді ∠BAD + ∠D = 180°; маємо 2∠CAD + 8∠CAD = 180°, 10∠CAD = 180°, ∠CAD = 18°, тоді ∠BAD = 18° • 2 = 36°.

Нехай у ромба ABCD точка перетину діагоналей О, ∠OBC : ∠OCB = 2 : 7. У ромба ABCD BD ⊥ АС, тоді ∠BOC = 90°, отже, ∠OBC + ∠OCB = 90°. Позначимо коефіцієнт їх пропорційності як х, тоді ∠OBC — 2х°, ∠OCB — 7х°. Маємо: 2х + 7х = 90, звідки х = 10. Тоді ∠OBC = 10° • 2 = 20°, ∠OCB = 10° • 7 = 70°. Діагоналі ромба — бісектриси його кутів, тоді ∠B = 2∠OBC, ∠B = 20° • 2 = 40°, ∠D = ∠B = 40°. ∠C = 2∠OBC, ∠C = 70° • 2 = 140°, ∠A = ∠C = 140°.

М — середина АВ, К — середина ВС. Розглянемо △MBD і △KBD: BD — спільна, MB = КВ, як половини рівних сторін ромба, ∠MBD = ∠KBD, оскільки BD — бісектриса ∠B, тоді △MBD = △KBD за двома сторонами і кутом між ними звідки BD = KD.

△АЕС = △AFC (І ознака), АС — спільна, EC = FC, як половини рівних сторін ромба, ∠ECA = ∠FCA, оскільки СА — бісектриса ∠C. Тоді △АЕС = △AFC за двома сторонами і кутом між ними, звідки ∠EAC = ∠FAC.

ВК і ВМ — висоти, △АВК і △СМВ — прямокутні. ∠A = ∠C, тоді ∠ABK = 90° - ∠A, ∠CBM = 90° - ∠C. Звідки ∠ABK = ∠CBM. △АВК = △СВМ (II ознака). AB = CD (сторони ромба), ∠BAK = ∠BCM (протилежні кути ромба). З рівності трикутників: ВК = ВМ.

ВК — висота △ABD, ВК є і медіаною (за умовою), тому △АBD — рівнобедрений, AB = BD, оскільки AB = AD, то △ABD — рівносторонній. Звідки АВ = 4 см, Р = 4 • 4 = 61 (см). ∠A = 60°, тоді ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 180° - 60° = 120°.

ВК, ВМ — висоти ромба. △АВК = △CВМ (прямокутні, за гіпотенузою і гострим кутом), АВ = ВС (властивість ромба). ∠A = ∠C. Звідси ВК = ВМ. Тоді △BKD = △BMD (за гіпотенузою і катетом), BD — спільна гіпотенуза, ВК = ВМ.

З рівності △KBD і △MBD виходить: ∠КВD = ∠МВD. Отже, діагональ BD ділить кут між висотами ВК і ВМ навпіл.


15