ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

У △KMN ∠К = 90°, KM = KN, ABCD — прямокутник і С є КМ, В є KN, A є NM, D є NM, CD ⊥ MN, BA ⊥ MN, CD = BA, DA = CB.

У △KMN ∠KMN = ∠KNM = 45°, тоді у △CDM ∠MCD = ∠CMD = 45° і △CDM — рівнобедрений, CD = MD. У △BAN ∠ABN ∠BNA = 45°, тоді BA = AN. MN = MD + DA + AN = CD + DA + BA = 55 см. Нехай коефіцієнт пропорційності сторін АВ і ВС — х, тоді АВ — 3х см, DA — 5х см. Маємо MN = 3х + 5х + 3х = 11 х, що за умовою дорівнює 55 см; 11х = 55, х = 5. Тоді АВ = 5 • 3= 1 5 (см), DA = 5 • 5 = 25 (см). Сторони прямокутника ABCD 15 см і 25 см.

У △АВС ∠C = 90°, АС = ВС = 6 см, тоді ∠A = ∠B = 45°. CMKN — прямокутник, тоді KM ⊥ АС, отже, KM ∥ ВС і ∠АКМ = ∠ABC, як відповідні при МК ∥ ВС та січній АВ ⇒ ∠МКА = ∠МАК = 45°, △АМК — рівнобедрений і AM = МК, АС = МС + AM = МС + МК = 6 см. РCMKN = 2(МС + МК), РCMKN = 2 • 6 = 12 (см).

У паралелограма ABCD діагоналі АС і BD перетинаються в точці О і ∠ОВА = ∠ВАО. Тоді △АОВ — рівнобедрений з основою АВ і ВО = АО. Оскільки у паралелограма діагоналі діляться навпіл точкою перетину, то BD = 2ВО, АС = 2АО, отже, BD = АС. Тоді ABCD — прямокутник за ознакою.

Побудуємо прямий кут А. На його сторонах відкладемо відрізки АВ і AD, що дорівнюють заданим сторонам. Через точку В проведемо пряму, перпендикулярну до АВ, через точку D — пряму, перпендикулярну до AD. Позначимо точку перетину перпендикулярів С. ABCD — шуканий прямокутник.

Побудуємо кут А, що дорівнює заданому куту між діагоналлю та стороною. На одній із його сторін відкладемо відрізок АС, що дорівнює заданій діагоналі. Проведемо через точку С пряму, перпендикулярну до другої сторони кута, D — точка його перетину зі стороною, та до цієї ж сторони перпендикуляр l через точку А. Через точку С проведемо пряму, паралельну до AD. Точку її перетину з прямою l позначимо В. ABCD — шуканий прямокутник.

Побудуємо прямий ∠A. На одній із сторін відкладемо відрізок АВ. Побудуємо перпендикуляр n до АВ через т. В. Коло з центром А, радіусом АС перетне n в точці С. Побудуємо перпендикуляр до ВС через т. С. Цей перпендикуляр перетне другу сторону ∠A в точці D. ABCD — шуканий прямокутник.

У прямокутнику ABCD точка О — середина діагоналі AC, MO ⊥ АС, М є ВС. Проведемо відрізок AM, △АМС — рівнобедрений, оскільки МО — медіана і висота, тоді AM = МС. За умовою ВМ : МС = 1 : 2, тоді ВМ : АМ = 2 : 1. У прямокутному △АВМ катет ВМ удвічі менший від гіпотенузи, тоді ∠BAM = 30°. У рівнобедреного △АМС ∠МАС = ∠МСА. ∠ВСА = ∠DAC, як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та січній АС, тоді ∠CAD = ∠MАС, тобто АС — бісектриса ∠MAD. ∠MAD = ∠BAD - ∠ВАМ, ∠MAD = 90° - 30° = 60°. Тоді ∠CAD = 60° : 2 = 30°. ∠BAC = 90° - 30° = 60°. Отже, діагональ ділить кут прямокутника на кути 30° і 60°.

Побудуємо ∠АОВ. На сторонах даного кута відкладемо два рівних відрізка довільної довжини . Кінці відрізків, відмінні від т. О, з’єднаємо. На відрізку, який утворився від одного з кінців відкладемо відрізок NM, довжина якого дорівнює АВ.

Через т. N проведемо пряму, паралельну променю ОМ. Ця пряма перетне іншу сторону даного кута в т. А. Побудуємо пряму b, що проходить через т. А паралельно MN. Пряма b перетне ОМ в т. В. AMNB — паралелограм за побудовою. Тому MN = АВ. Продовжимо ОА за т. О і відкладемо ОС = ОA; продовжимо ОВ за т. О і відкладемо OD = ОВ.

ABCD — паралелограм, у якого діагоналі рівні. Отже, ABCD — шуканий прямокутник.

Якщо AM = AD - DC, то DM = DC і △DCM — рівнобедрений, тоді ∠CMD = 45°, a ∠CMA = 135°.

Побудуємо △СМА = 135° (прямий кут + половина прямого кута). На стороні МА відкладемо від т. М відрізок AM = AD - DC. Коло з центром А радіусом АС перетне сторону МС в т. С. Продовжимо сторону AM за т. М і опустимо перпендикуляр з т. С на продовження AM. Одержимо т. D. Через т. С проведемо пряму а, паралельну AD, через т. А пряму b, паралельну CD. b i а перетнуться в т. В. ABCD — шуканий прямокутник.

Нехай ABC — даний трикутник, ∠C = 48°, АК і ВМ — висоти. Знайдемо кут між висотами.

Розглянемо △СМВ, ∠C = 48°, ∠CMВ = 90° (ВМ — висота). ∠СВМ = 90° - 48° = 42°.

Розглянемо △ВОК: ∠СВО = 42°, ∠ОКВ = 90° (АК — висота), ∠КОВ = 90° - 42° = 48°.

Оскільки △ABD і △BCD мають ще одну пару рівних кутів, то ці кути ∠ABD і ∠C. Нехай ∠A = ∠DBC = у, ∠ABD = ∠C = у. ∠A + ∠B + ∠C = 180°, х + ∠B + у = 180°, АВ = х + у. х + у + х + у = 180°; 2(х + у) = 180°;

х + y = 90°.

134. ∠BAD = ∠АЕС (як відповідні при AD ∥ EC і січній BE).

∠АСЕ = ∠DАС (як внутрішні різносторонні при AD ∥ ЕС і січній АС).

Так як ∠BAD = ∠DАС (AD — бісектриса), то ∠АЕС = ∠АСЕ.

Отже, △АЕС — рівнобедрений з основою ЕС.


15