ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

4. Прямокутник

Точка перетину діагоналей прямокутника, т. О рівновіддалена від вершин прямокутника.

∠А і ∠В — внутрішні односторонні при прямих AD і ВС та їхній січній АВ і ∠А + ∠В = 90° + 90° = 180°, тоді AD ∥ ВС. ∠A і ∠D — внутрішні односторонні при прямих АВ і CD та їхній січній АВ і ∠A + ∠D = 90° + 90° = 180°, тоді АВ ∥ CD. Сторони чотирикутника ABCD лежать на паралельних прямих, отже, ABCD — паралелограм. А оскільки всі його кути прямі, то ABCD — прямокутник за означенням.

113. Точка О ділить діагоналі навпіл, тому BO = OD = АО = ОС. Отже, у △АОВ ВО = АО, у △AOD AO = OD, тоді ці трикутники рівнобедрені.

114. З прямокутного △ABD: ∠BDA = 90° - 64° = 26°. △AOD — рівнобедрений: ∠ADO = ∠OAD = 26°. ∠AOD = 180° - (26° + 26°) = 180° - 52° = 128°.

△OCD — рівнобедрений. ∠COD = 180° - 128° = 52° (суміжні кути COD і AOD), ∠OCD = ∠ODC = (180° - 52°) : 2 = 125° : 2 = 64°.

Кути △ОАО: 128°, 26°, 26°. Кути △OCD: 64°, 64°, 52°.

△ВКС = △DМА. КС = МА (за умовою), ВС = DA (протилежні сторони прямокутника). ∠ВСК = ∠DAM (внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній АС). З рівності трикутників ВК = MD. Аналогічно △CKD = △АМВ і тоді KD = MB. У чотирикутнику BKDM протилежні сторони попарно рівні. Отже, BKDM — паралелограм. ∠КВМ є частиною кута СВА = 90°, тоді ∠KBM ≠ 90°. Отже, BKDM не може бути прямокутником.

О — точка перетину діагоналей прямокутника ABCD і чотирикутника AECF. АО = ОС (властивість прямокутника), FO = FD + DO і ЕО = ЕВ + ВО, оскільки FK = BE (за умовою), DO = NO (властивість прямокутника), то FD + DO = ЕВ + ВО або FO = ЕО. Тоді у чотирикутнику AECF діагоналі АС і FE перетинаються в т. О і точкою О діляться навпіл. Отже, AECF — паралелограм. Оскільки ∠FAE ≠ ∠DAB ≠ 90°, то AECF не є прямокутником; діагоналі його FE і АС також нерівні (FE > АС).

ВМ = СМ, М є ВС, ∠AMD = 90°. △АВМ = △DCM, оскільки ВМ = CM, АВ = CD і трикутники прямокутні, тоді ∠BMA = ∠CMD. ∠BMC = ∠AMD + ∠CMD = 180°, тоді ∠BMA + ∠CMD = 180° - 90° = 90°, звідки ∠BMA = ∠CMD = 45°. Тоді ∠ВАМ = 90° - ∠BMA, ∠BAM = 90° - 45° = 45° і △АВМ — рівнобедрений. Отже, АВ = ВМ, тоді ВС = 2ВМ = 2АВ. РABCD = 2(АВ + ВС) = 2(АВ + 2АВ) = 6АВ. За умовою РABCD = 36 см, тоді 6АВ = 36, АВ = 6 см, а ВС = 6 • 2 = 12 (см).

120. У прямокутника ABCD AM і DM — бісектриси ∠A і ∠D відповідно, M є ВС. ∠ВМА = ∠MAD, як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та січній AM. Оскільки AM — бісектриса, то ∠MAD = ∠МАВ, тоді ∠МАВ = ∠ВМА і △АВМ — рівнобедрений з основою АМ, отже, АВ = ВМ. ∠MFA = ∠CMD, як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD та січній MD. Оскільки DM — бісектриса, то ∠MDC = ∠MDA, тоді ∠MDC = ∠CMD і △MCD — рівнобедрений з основою MD, отже, МС = CD. Оскільки AB = CD, ВС = ВМ + МС, то ВС = 2ВМ = 2АВ. РABCD = 2(АВ + 2АВ) = 6АВ. За умовою РABCD = 30 см, отже, 6АВ = 39, АВ = 5 см, а ВС = 5 • 2 = 10 (см).


15