ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

101. ABCD — паралелограм, ВС = AD, ∠СВР = ∠ADE, як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD та їхній січній BD. У △BСР і △ADE ВС = AD, ∠СВР = ∠ADE і ∠ВСР = ∠DAE за побудовою, тоді △ВСР = △ADE, звідки BP = DE, PC = АЕ. У △АBР і △CDE AB = CD, BP = ED, ∠АВР = ∠CDE, як внутрішні різносторонні при АB ∥ CD та їхній січній BD, тоді △АВР = △CDE за двома сторонами і кутом між ними, звідки АР = СЕ. У чотирикутника АРСЕ АО = СЕ, PC = АЕ, тоді АРСЕ — паралелограм за ознакою.

102. У паралелограма ABCD ∠В = ∠D, ВС =AD. У △ВЕС ∠ВСЕ = 180° - (∠В + ∠ВЕС), у △DFA ∠DAF = 180° - (∠D + ∠DFA). Оскільки ∠ВЕС = ∠DFA за умовою, то ∠DAF = ∠DFA. Отже, у △ВЕС і △DFA BC = AD, ∠B = ∠D, ∠ВСЕ = ∠DAF, тоді △ВЕС = △DFA за стороною і прилеглими до неї кутами, звідки EC = CF. У чотирикутника AECF EC = AF, АЕ = CF, тоді AECF — паралелограм.

BM ⊥ AC, DK ⊥ AC у паралелограма ABCD. Із △ABM і △CDK AB = CD, ∠ВАМ = ∠DAK, як внутрішні різносторонні кути при АВ ∥ CD та їхній січній АС, ∠АМВ = ∠DKC = 90°, тоді ∠АВМ = ∠DKC, а △АBМ = △CKD за стороною і прилеглими до неї кутами. Тоді ВМ = KD. У △ВМК і △DKM ВМ = KD, МК — спільна, ∠ВМК = ∠DKM - 90°. Отже, △ВМК = △DKM, звідки ВК = DM. У чотирикутника BKDM KD = ВМ, ВК = MD, тоді BKDM — паралелограм.

Оскільки ∠А = ∠C у паралелограма ABCD, АЕ ділить ∠A навпіл, CF — ∠С навпіл, то △BАЕ = ∠DCF. У △АВЕ і △DCF AB = CD, ∠ВАЕ = ∠DCF, ∠АВЕ = ∠CDF, як внутрішні різносторонні при AB ∥ CD та їхній січній BD, тоді △АBЕ = △DCF, звідки АE = CF, BE = DF. У △ВЕС і △DFA ВС = AD, BE = DF, ∠СВЕ = ∠ADF, як внутрішні різносторонні при АB ∥ CD та їхній січній BD. Тоді △ВЕС = △DFA, звідки EC = AF. У чотирикутника AECF АЕ = FC, EC = AF, тоді AECF — паралелограм.

У △ANO і △ВРО NO = OP, ∠ANO = ∠ВРО, як внутрішні різносторонні при MN ∥ КР та їхній січній NP, ∠NOA = ∠РОВ, як вертикальні. Тоді △ANO = △ВРО за стороною і прилеглими до неї кутами, звідки АО = ОВ. У чотирикутника АМВР діагоналі АB і NP перетинаються в точці О і діляться нею навпіл. Отже, ANВР — паралелограм.

Нехай т. О — точка перетину діагоналей паралелограма CDEF, тоді DO = OF, CO = OE. Точки А, О і В лежать на одній прямій, А є CD, В є EF; точки M, О і К лежать на одній прямій, М є DE, К є CF. У △САО і △ЕВО СО = OE, ∠АСО = ∠BFO, як внутрішні різносторонні при CD ∥ EF та їхній січній СЕ, ∠АОС = ∠ВОЕ, як вертикальні, тоді △САО = △ЕВО за стороною і прилеглими до неї кутами, звідки АО = ОВ.

У △DОМ і △FOK DO = OE, ∠MDO = ∠KFO, як внутрішні різносторонні при DE ∥ CF та їхній січній DF, ∠DOM = ∠FOK, як вертикальні. Тоді △DOM = △FOK, звідки MO = OK. У чотирикутника AMВК діагоналі АВ і МК перетинаються в точці О та діляться нею навпіл. Отже, АМВК — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

У паралелограма ABCD М — середина АВ, К — середина CD, тоді AM = MB = СК = KD; N — середина ВС, Р — середина AD, тоді BN = NC = АР = PD. Нехай пряма AN перетинає MD в точці О, а ВК — в точці S, пряма СР перетинає MD в точці F, а пряму ВК — в точці Е. Доведемо, що OSEF — паралелограм.

У △ABN і △CDP AB = CD, BN = PD, ∠ABN = ∠CDP, як протилежні кути паралелограма ABCD, тоді △ABN = △CDP за двома сторонами і кутом між ними, звідки ∠BNA = ∠DPA. ∠BNA = ∠NAD, як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та їхній січній AN, тоді ∠NAD = ∠DPC, а ці кути відповідні при прямих AN і PC та їхній січній AD, тоді AN ∥ СР за ознакою паралельності прямих. △AMD = △СКВ (ВС = AD, AM = СК, ∠MAD = ∠ВСК), звідки ∠AMD = ∠СКВ, але ∠СКВ = ∠КВА, як внутрішні різносторонні кути при АВ ∥ CD та їхній січній ВК, тоді ∠КВА = ∠DMA, а ці кути — відповідні при прямих ВК і MD та їхній січній ВА. Отже, BK ∥ MD. У чотирикутника OSEF протилежні сторони лежать на паралельних прямих, тоді OSEF — паралелограм за означенням. Що й треба було довести.

△АВС — рівнобедрений, тому ∠А = ∠С, тоді ∠А + ∠С + 120° = 180°, ∠А + ∠С = 60°. Звідси ∠А = ∠С = 30°.

△АСК — прямокутний, ∠С = 30°, тоді АС = 2 • АК = 2 • 8 = 16 (см).


15