Завдання 901-907 - ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

Нехай дано паралелограм ABCD. ВК та ВР — висоти, тоді S_ABCD = ВК • AD. За умовою ВК = 6 см, ВР = 8 см, ∠КВР = 30°. У чотирикутнику KBPD, ∠BKD = ∠BPD = 90°, ∠КВР = 30°. Тоді як ∠BKD + ∠BPD + ∠КВР + ∠D = 360° (за теоремою), тоді ∠D = 360° - (90° • 2 + 30°) = 360° - 210° = 150°. За властивістю паралелограма ∠D + ∠С = 180°. ∠С = 180° - 150° = 30°. У △ВРС, ∠ВРС = 90°, ВР = 8 см, тоді ВС = 2ВР (ВР — катет, що лежить напроти кути 30°), ВС = 2 • 8 = 16 см. ВС = AD (як протилежні сторони паралелограма). S_ABCD = 6 • 16 = 96 см².

Відповідь: 96 см².

902. а = 8 см, b = 5 см, а і b — сторони паралелограма.

1) S = 41 см² — площа. Відповідь: ні, не може.

2) S = 40 см² — може.

3) S = 39 см² — може.

1) ні; 2) так; 3) так.

Якщо АВ = 5 см, AD = 8 см, а S_ABCD= ВК • AD. З △АВК, ∠ВКА = 90° (ВК — висота паралелограма). ВК = АВ • sin ∠А; ВК = 5 • sin ∠А ≤ 5.

1) ABCD — паралелограм, ВК та ВР висоти, тоді S_ABCD= ВK • AD = CD • ВР.

а) S_ABCD = 6 • 12 = 72 см² (за умовою ВК = 6 см, AD = 12 см), тоді BP = 72 : 9 = 8 см.

Відповідь: 8 см.

904. Якщо сума кутів n-кутника на 540° більша суми кутів m-кутника, то маємо рівняння: 180°(n - 2) = 180°(m - 2) + 540°; 180°(n - m) = 540°; n - m = 3. Отже, у першого многокутника на 3 вершини більше.

Відповідь: на 3 вершини.

Нехай дано ромб ABCD, т. М, т. N, т. К, т. Р — середини сторін AD, АВ, ВС, DC — відповідно. Тоді: NK — середня лінія △АВС, МР — середня лінія △АСD, MN — середня лінія △ABD, КР — середня лінія △BCD.

Так як МК ∥ АС і МР ∥ АС, а КР ∥ BD і MN ∥ BD, а у ромба за властивістю BD ⟂ АС, тоді MN ⟂ AC; КР ⟂ АС; NK ⟂ BD; МР ⟂ BD. Значить у чотирикутника MNKP всі кути прямі і він є прямокутник. За формулою S_MNKP = MN • NK, S_MNKP = 3 • 5 = 15 см².

Відповідь: 15 см².

Два нерівні трикутники. АС = 4 см — сторона, ВК = 2,5 см, ВК — висота.

Нехай дано прямокутник ABCD, тоді S_ABCD = АВ • AD, а Р_ABCD = (АВ + AD) • 2. Нехай АВ = х, тоді AD = 2х. Маємо: х • 2х = (х + 2х) • 2; 2х² - 6х = 0; 2х(х - 3) = 0; х = 0, х = 3. АВ = 3; AD = 3 • 2 = 6, тоді S_ABCD = 3 • 6 = 18.

Відповідь: 18.