ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

Нехай дано прямокутник ABCD, тоді S_ABCD = АВ • ВС. ВС = ВМ + МС, ВС = 3 + 5 = 8 см. За умовою AM — бісектриса, отже, ∠BAM = ∠MAD, ∠ВАМ = ∠AMB як відповідні кути (ВС AD, AM — січна). Тоді △АВМ — рівнобедрений і ВМ = АМ = 3 см. S_ABCD = 8 • 3 = 24 см².

Відповідь: 24 см².

Нехай дано прямокутник ABCD, тоді S_ABCD = АВ • DA. За умовою АК = 7 см, KD = 5 см. AD = AK + KD, AD = 7 + 5 = 12 см. За умовою ВК — бісектриса, тоді ∠АВК = ∠КВС. ∠СВК = ∠ВКА як відповідні кути (BC ∥ AD, BK — січна). Отже, △АВК — рівнобедрений і АВ = АK = 7 см.

S_ABCD = 7 • 12 = 84 см².

Відповідь: 84 см².

Нехай дано прямокутник ABCD, тоді S_ABCD = АВ • ВС. У △АВС ∠B = 90°, за теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС². За умовою АС = 15 см. Нехай АВ = х см, тоді ВС = х + 3 см, тоді х² + (х + 3)² = 15²; х² + х² + 6х + 9 - 225 = 0; 2х² + 6х - 216 = 0 | 2; х² + 3х - 108 = 0; D = b² - 4ас; D = 9 + 432 = 441; √D = √441 = 21;

Нехай дано прямокутник ABCD, тоді S_ABCD = АВ • BC. За умовою ВС = 7 см. Нехай АВ = х см, тоді АС = х + 1 см.

У △АВС ∠В = 90°, за теоремою Піфагора АВ² = АВ² + ВС², маємо: (х + 1)² = х² + 7; 2х = 48; х = 24. Тоді АВ = 24 см, АС = 25 см. Отже, S_ABCD = 24 • 25 = 600 см².

Відповідь: 600 см².

Нехай дано прямокутник, тоді S_ABCD = S_△ABM + S_AMND + S_△DCN. Опустимо висоту KF, тоді S_△AKD = S_△MKF + S_△FKN + S_AMND. △АВМ = △KNM, ∠В = ∠KFM = 90°, ∠KMF = ∠АМВ як вертикальні, AM = МК за умовою. Тоді S_△ABM = S_△KNM. ВС ∥ AD (як сторони прямокутника), AM = МК, то за теоремою Фалеса KN = ND. △KFN = △DCN (аналогічно), тоді S_△KFN = S_△DCN. Значить, S_ABCD = S_△AKD.

Доведено.

878. Можна стверджувати, що многокутники мають однакову кількість сторін.

879. Якщо навколо паралелограма описане коло, то сума його протилежних кутів повинна бути однаковою. Отже, такий паралелограм буде прямокутником. В іншому випадку навколо паралелограма не можна описати коло.

АВ = 5 см, DK ⟂ AB, DK = 3 см.

ABCD — паралелограм.

881. 8 кіл: коло з центром у точці перетину бісектрис кутів трикутника, що дотикається трьох кіл зовнішньо; коло з тим же центром, що дотикається всіх трьох кіл внутрішньо; три кола, що дотикаються одного з даних кіл внутрішньо, а двох інших — зовнішньо; три кола, що дотикаються одного з даних кіл зовнішньо, а двох інших — внутрішньо.