ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

Нехай дано прямокутник ABCD, тоді SABCD = АВ • ВС. ВС = ВМ + МС, ВС = 3 + 5 = 8 см. За умовою AM — бісектриса, отже, ∠BAM = ∠MAD, ∠ВАМ = ∠AMB як відповідні кути (ВС AD, AM — січна). Тоді △АВМ — рівнобедрений і ВМ = АМ = 3 см. SABCD = 8 • 3 = 24 см2.

Відповідь: 24 см2.

Нехай дано прямокутник ABCD, тоді SABCD = АВ • DA. За умовою АК = 7 см, KD = 5 см. AD = AK + KD, AD = 7 + 5 = 12 см. За умовою ВК — бісектриса, тоді ∠АВК = ∠КВС. ∠СВК = ∠ВКА як відповідні кути (BC ∥ AD, BK — січна). Отже, △АВК — рівнобедрений і АВ = АK = 7 см.

SABCD = 7 • 12 = 84 см2.

Відповідь: 84 см2.

Нехай дано прямокутник ABCD, тоді SABCD = АВ • ВС. У △АВС ∠B = 90°, за теоремою Піфагора АС2 = АВ2 + ВС2. За умовою АС = 15 см. Нехай АВ = х см, тоді ВС = х + 3 см, тоді х2 + (х + 3)2 = 152; х2 + х2 + 6х + 9 - 225 = 0; 2х2 + 6х - 216 = 0 | 2; х2 + 3х - 108 = 0; D = b2 - 4ас; D = 9 + 432 = 441; √D = √441 = 21;

Нехай дано прямокутник ABCD, тоді SABCD = АВ • BC. За умовою ВС = 7 см. Нехай АВ = х см, тоді АС = х + 1 см.

У △АВС ∠В = 90°, за теоремою Піфагора АВ2 = АВ2 + ВС2, маємо: (х + 1)2 = х2 + 7; 2х = 48; х = 24. Тоді АВ = 24 см, АС = 25 см. Отже, SABCD = 24 • 25 = 600 см2.

Відповідь: 600 см2.

Нехай дано прямокутник, тоді SABCD = SABM + SAMND + SDCN. Опустимо висоту KF, тоді SAKD = SMKF + SFKN + SAMND. △АВМ = △KNM, ∠В = ∠KFM = 90°, ∠KMF = ∠АМВ як вертикальні, AM = МК за умовою. Тоді SABM = SKNM. ВС ∥ AD (як сторони прямокутника), AM = МК, то за теоремою Фалеса KN = ND. △KFN = △DCN (аналогічно), тоді SKFN = SDCN. Значить, SABCD = SAKD.

Доведено.

878. Можна стверджувати, що многокутники мають однакову кількість сторін.

879. Якщо навколо паралелограма описане коло, то сума його протилежних кутів повинна бути однаковою. Отже, такий паралелограм буде прямокутником. В іншому випадку навколо паралелограма не можна описати коло.

АВ = 5 см, DK ⟂ AB, DK = 3 см.

ABCD — паралелограм.

881. 8 кіл: коло з центром у точці перетину бісектрис кутів трикутника, що дотикається трьох кіл зовнішньо; коло з тим же центром, що дотикається всіх трьох кіл внутрішньо; три кола, що дотикаються одного з даних кіл внутрішньо, а двох інших — зовнішньо; три кола, що дотикаються одного з даних кіл зовнішньо, а двох інших — внутрішньо.