ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

§ 3. Прямокутник і його властивості

Початковий рівень

77. Із фігур, зображених на мал. 39-43 прямокутниками є фігури, зображені на мал. 40 і на мал. 42.

78. Довжина діагоналі BD дорівнює довжині діагоналі АС згідно з властивістю діагоналей прямокутника. Отже, BD = 5 см.

Відповідь: 5 см.

79. Периметр прямокутника дорівнює (4 см + 7 см) • 2 = 22 см.

Відповідь: 22 см.

80. Периметр прямокутника дорівнює (2 см + 5 см) • 2 = 14 см.

Відповідь: 14 см.

81. Обернене твердження: «якщо діагоналі чотирикутника рівні, то він прямокутник» не є правильним, якщо вони точкою перетину не діляться навпіл (мал. 35).

Мал. 35.

Середній рівень

84. 1) Якщо жоден із кутів паралелограма не є гострим, то кожен кут паралелограма або прямий, або тупий. Оскільки сума кутів паралелограма, прилеглих до сторони, дорівнює 180°, то кути паралелограма — прямі. Отже, даний паралелограм є прямокутником.

2) Якщо жоден з кутів паралелограма не є тупим, то кожен кут паралелограма або прямий, або гострий. Оскільки сума кутів паралелограма, прилеглих до сторони, дорівнює 180°, то кути паралелограма — прямі. Отже, даний паралелограм є прямокутником.

3) Якщо три з кутів паралелограма є рівними, то кожен кут паралелограма прямий, бо четвертий кут теж буде рівним трьом даним кутам. Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то кути паралелограма — прямі (360° : 4 = 90°). Отже, даний паралелограм є прямокутником.

Відповідь: 1) прямокутник; 2) прямокутник; 3) прямокутник.

85. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360° і три з них по 90° (мал. 37), то й четвертий кут дорівнює 90°. Отже, у даному чотирикутнику протилежні кути рівні. Він є паралелограмом за ознакою, а оскільки в цьому паралелограмі всі кути прямі, то він прямокутник за означенням.

86. Сума кутів паралелограма (мал. 37) дорівнює 360°. Оскільки кути рівні, то кожний з них дорівнює: 360° : 4 = 90°. Отже, у даному паралелограмі всі кути прямі. За означенням такий паралелограм є прямокутником.

Мал. 37.

87. 1) Нехай х см — менша сторона, тоді (х + 2) см — більша сторона. Отримуємо рівняння: (х + х + 2) • 2 = 40; х + х + 2 = 20; 2х + 2 = 20; 2х = 18; х = 9, тоді х + 2 = 11. Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то сторони даного прямокутника — 9 см; 11 см; 9 см; 11 см.

Відповідь: 9 см; 11 см; 9 см; 11 см.

2) Нехай 2х см — менша сторона, тоді 3х см — більша сторона. Отримуємо рівняння: (2х + 3х) • 2 = 40; 5х = 20; х = 4, тоді 2х = 2 • 4 = 8, 3х = 3 • 4 = 12.

Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то сторони даного прямокутника дорівнюють 8 см; 12 см; 8 см; 12 см.

Відповідь: 8 см; 12 см; 8 см; 12 см.

88. 1) Нехай х см — менша сторона, тоді (х + 5 ) см — більша сторона. Отримуємо рівняння: (х + х + 5) • 2 = 50; х + х + 5 = 25; 2х + 5 = 25; 2х = 20; х = 10, тоді х + 5 = 15. Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то сторони даного прямокутника дорівнюють 10 см; 15 см; 10 см; 15 см.

Відповідь: 10 см; 15 см; 10 см; 15 см.

2) Нехай х см — менша сторона, тоді 4х см — більша сторона. Отримуємо рівняння: (х + 4х) • 2 = 50; 5х = 25; х = 5, тоді 4х = 4 • 5 = 20.

Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то сторони даного прямокутника дорівнюють 5 см; 20 см; 5 см; 20 см.

Відповідь: 5 см; 20 см; 5 см; 20 см.

89. ∠1 = ∠5 = ∠4 = ∠8;

∠2 = ∠6 = ∠7 = ∠3;

∠9 = ∠11; ∠10 = ∠12.

90. 1) Якщо ∠8 = 52°, то ∠3 = 90° - 52° = 38°.

2) Якщо ∠10 = 40°, то ∠2 = ∠10 : 2 = 40° : 2 = 20°.

Відповідь: 1) 38°; 2) 20°.