ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

61. Оскільки сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°, а бісектриси ділять кожний із цих кутів навпіл, то в утвореному трикутнику (мал. 25) ∠1 + ∠2 = 90°. Таким чином, кут між бісектрисами: 180° - 90° = 90°, що й треба було довести.

Мал. 25

62. Нехай на мал. 26 ∠BAD = 60°, АК = 3 см, KD = 5 см. У прямокутному трикутнику АВК (∠АКВ = 90°) ∠АВК = 90° - 60° = 30°. Як відомо, у прямокутному трикутнику проти кута 30° лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи. Отже, АВ = 2АК = 3 • 2 = 6 (cм), AD = 3 + 5 = 8 (см). Тоді P_ABCD = (АВ + AD) • 2 = (6 + 8) • 2 = 14 • 2 = 28 (см).

Мал. 26.

Відповідь: 28 см.

63. Нехай на мал. 27 ∠АВС = 120°, АВ = 6 см, АК = KD. У прямокутному трикутнику ABК (∠АКВ = 90°) ∠АВК = 120° - 90° = 30°. Як відомо, у прямокутному трикутнику проти кута 30° лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи. Отже, АК = АВ : 2 = 6 : 2 = 3 (см). Тоді Р_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = 6 • 4 = 24 (см).

Мал. 27.

Відповідь: 24 см.

64. Нехай у паралелограмі ABCD (мал. 28) АК ⟂ CD, AL ⟂ СВ, ∠LAK = 140°. Розглянемо чотирикутник ALCK. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠С = 360° - ∠CLA - ∠СКА - ∠LAK = 360° - 90° - 90° - 140° = 40°.

Мал. 28.

Відповідь: 40°.

65. Нехай у паралелограмі ABCD (мал. 29) ВМ ⟂ AD, BN ⟂ CD, ∠MBN = 70°.

Розглянемо чотирикутник BMDN. За теоремою про суму кутів чотирикутника: ∠D = 360° - ∠BMD - ∠MBN - ∠BND = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°.

Мал. 29.

Відповідь: 110°.

Високий рівень

66. Оскільки ABCD (мал. 30) — паралелограм, то ВС ∥ AD, ВК — січна при прямих ВС і AD. Отже, ∠СВК = ∠ВКА як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. Тоді трикутник АВК — рівнобедрений з основою ВК, оскільки ∠АВК = ∠АКВ. Нехай KD = x cм (х > 0), тоді АК = АВ = (х + 1) см, AD = АК + KD = 2х + 1. Враховуючи, що в паралелограмі протилежні сторони рівні і його периметр за умовою дорівнює 40 см, одержимо рівняння: 2(2х + 1 + х + 1) = 40. Звідси 3х + 2 = 20; 3х= 18; х = 6. Таким чином, АВ = CD = 6 + 1 = 7 (см), АD = ВС = 2 • 6 + 1 = 13 (см).

Мал. 30.

Відповідь: 7 см, 13 см, 7 см, 13 см.

67. Оскільки ABCD (мал. 31) — паралелограм, то ВС ∥ AD, АК — січна при прямих ВС і AD. Отже, ∠DAK = ∠ВКА як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. Тоді трикутник АВК — рівнобедрений з основою АК, оскільки ∠ВАК = ∠АКВ. Нехай ВК = 3х см (х > 0), КС = 7х см, тоді АВ = ВК = 3х см, ВС = ВК + КС = 3х + 7х = 10х. Враховуючи, що в паралелограмі протилежні сторони рівні і його периметр за умовою дорівнює 78 см, одержимо рівняння: 2(3х + 10х) = 78. Звідси 13х = 39; х = 3. Таким чином, AB = CD = 3 • 3 = 9 (см), AD = BC = 10 • 3 = 30 (см).

Мал. 31.

Відповідь: 9 см, 30 см, 9 см, 30 см.

68. Нехай у паралелограмі ABCD (мал. 32) BK ⟂ AD, BL ⟂ CD. Toді ∠KBL = ∠ABC - ∠1 - ∠2 = ∠ABC - (90° - ∠A) - (90° - ∠C) = ∠ABC - 90° + ∠A - 90° + ∠C = (∠ABC + ∠A) - 180° + ∠C = 180° - 180° + ∠C = ∠C. Отже, кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, дорівнює куту паралелограма при сусідній вершині.

Мал. 32.

Знайдемо кути паралелограма. Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а їхня сума дорівнює 180°. Нехай 5х° — величина меншого кута, тоді 7х° — величина більшого кута. Отримуємо рівняння: 5х + 7х = 180; 12х = 180; х = 15; 5х = 5 • 15 = 75; 7х = 7 • 15 = 105. 75° — менший кут; 105° — більший кут.

1) Якщо висоти паралелограма проведені з тупого кута, то кут між висотами дорівнює гострому куту 75°.

2) Якщо висоти паралелограма проведені з гострого кута, то кут між висотами дорівнює тупому куту 105°.

Відповідь: 1) 75°, 2) 105°.

69. Нехай у паралелограмі ABCD (рис. 32) BK ⟂ AD, BL ⟂ CD. Toді ∠KBL = ∠ABC - ∠1 - ∠2 = ∠ABC - (90° - ∠A) - (90° - ∠C) = ∠ABC - 90° + ∠A - 90° + ∠C = (∠ABC + ∠A) - 180° + ∠C = 180° - 180° + ∠C = ∠C. Отже, кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, дорівнює куту паралелограма при сусідній вершині.

Знайдемо кути паралелограма. Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а їхня сума дорівнює 180°. Нехай х° — величина меншого кута, тоді х° + 12° — величина більшого кута. Отримуємо рівняння: х + х + 12 = 180; 2х = 168; х = 84; х + 12 = 96. 84° — менший кут; 96° — більший кут.

1) Якщо висоти паралелограма проведені з гострого кута, то кут між висотами дорівнює тупому куту 96°.

2) Якщо висоти паралелограма проведені з тупого кута, то кут між висотами дорівнює гострому куту 84°.

Відповідь: 1) 96°, 2) 84°.