ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

Достатній рівень

Нехай дано коло з центром в точці О, АВ і CD — хорди, АВ ∩ СD = т. М, тоді AM • МВ = DM • МС. За умовою АМ = MB, CM = 16 cм, DM : MC = 1 : 4. DM : 16 = 1 : 4; DM = 16 : 4; DM = 4. AM • AM = 4 • 16; AM² = 4 • 16; AM = √4 • 16; AM = 2 • 4; AM = 8 см. AB = 2AM, AB = 2 • 8 = 16 cм.

Відповідь: 16 см.

576. Мал. 163. Нехай дано коло з центром в точці О, DC — діаметр кола, АВ — дотична, отже, АВ² = АС α AD = АО² - CO². За умовою АВ = 3 см, АО = 5 см, тоді 3² = 5² - СО²; СО² = 16; СО = 4 см. DC = 2 • АО, DC = 2 • 4 = 8 см.

Відповідь: 8 см.

577. Мал. 163. Нехай дано коло з центром в точці О, АВ — дотична. Отже, АВ² = АС • AD = АО² - СО². За умовою АВ = 8 см, АО = 10 см, маємо 8² = 10² - СО²; СО² = 36; СО = 6 см.

Відповідь: 6 см.

Нехай дано коло з центром в точці О, АВ — діаметр кола, CD — хорда, AB ∩ CD = т. М, АВ ⟂ CD. Тоді за властивістю CM = MD. За наслідком AM • ВМ = СМ • MD = ВО² - МО². Маємо 2 • ВМ = 4² (за умовою AM = 2 см, СМ = 4 см), ВМ = 8 см. Значить: ВО² = МО² = 16. Так як ВО =АО, а АО = AM + МО, тоді ВО = AM + МО. (2 + МО)² - МО² = 16; 4 + 4МО + МО² - МО² =16; 4МО = 12; МО = 3. Отже, ВО = 2 + 3 = 5 см.

Відповідь: 5 см.

Нехай дано коло з центром в точці О, MN — діаметр кола, АВ — хорда. MN ∩ AB = Р, MN ⟂ АВ. За властивістю АР = РВ = 12 см (за умовою РВ = 12 см). За наслідком: АР • РВ = МР • PN = ОN² - ОР². Маємо: 12 • 12 = МР • 18, МР = 8 см. Так як ON = МО = MP + РО, тоді ON = 8 + РО. (8 + РО)² - РО² = 144; 64 + 16РО + РО² - РО² = 144; 16 • РО = 80; РО = 5 см. Значить: ON = 8 + 5 = 13 см. Так як MN = 2 • ON, тоді MN = 2 • 13 = 26 см.

Відповідь: 26 см.

Нехай дано коло з центром в точці О, ОА — радіус кола, ВС ⟂ ОА. Виконаємо додаткову побудову: проведемо хорду ВК та діаметр AN. Тоді ВС • СК = ОА² - ОС² (за теоремою). Так як ВС ⟂ ОА, тоді ВК ⟂ ОА, значить, ВС = СК = 24 см (ВС = 24 см за умовою). Нехай коефіцієнт пропорційності х, тоді ОС = 5х см, СА = 8х см, а АО = 5х + 8х = 13х см. Маємо: 24 • 24 = (13х)² - (5х)²; 24 • 24 = 144х²; х² = 4; х = 2. Отже, ОА = 13 • 2 = 26 см.

Відповідь: 26 см.