ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

51. Враховуючи, що △АВС = △CDA, то АВ = CD і ВС = AD. Оскільки в чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно рівні: АВ = CD і ВС = AD, то за ознакою паралелограма цей чотирикутник є паралелограмом, що й треба було довести.

52. Побудуємо (мал. 18) заданий кут А; на сторонах кута А відкладаємо дані сторони АВ і AD; через т. В проводимо пряму, яка паралельна прямій АD, а через т. D проводимо пряму, яка паралельна прямій АВ; побудовані прямі перетинаються в т. С. ABCD — шуканий паралелограм.

Мал. 18.

53. Побудуємо (мал. 19) трикутник ABC за трьома сторонами: АВ і ВС — задані сторони паралелограма, а АС — діагональ паралелограма; через точку А проводимо пряму, яка паралельна прямій ВС, а через т. С проводимо пряму, яка паралельна прямій АВ; побудовані прямі перетинаються в т. D. ABCD — шуканий паралелограм.

Мал. 19.

Достатній рівень

54. Нехай у паралелограмі ABCD (рис. 20) ВК — бісектриса кута В паралелограма ∠BKA = 48°. Оскільки ABCD — паралелограм, то ВС ∥ AD, ВК — січна при прямих ВС і AD. Отже, ∠CBK = ∠ВКА як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. Тоді трикутник АВК — рівнобедрений з основою ВК, оскільки ∠ABK = ∠АКВ = 48°. Із трикутника АВК маємо: ∠A = 180° - ∠AВК - ∠AKB = 180° - 48° - 48° = 84°. Оскільки сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°, то ∠B = 180° - ∠A = 180° - 84° = 96°.

Мал. 20.

Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то кути паралелограма дорівнюють: 84°, 96°, 84°, 96°.

Відповідь: 84°, 96°, 84°, 96°.

55. Нехай у паралелограмі ABCD (мал. 21) AM — бісектриса кута А паралелограма і ВМ = 5 см, МС = 7 см. Оскільки ABCD — паралелограм, то ВС ∥ АD, AM — січна при прямих ВС і AD. Отже, ∠АМВ = ∠MAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. Тоді трикутник AMВ — рівнобедрений з основою AM, оскільки ∠ВАМ = ∠ВМАВ. АВ = ВМ = 5 см, ВС = ВМ + МС = 5 + 7 = 12 (см). Враховуючи, що в паралелограмі протилежні сторони рівні, знайдемо його периметр (5 + 12) • 2 = 34 (см).

Мал. 21

Відповідь: 34 см.

56. Нехай у паралелограмі ABCD (мал. 22) АР — бісектриса кута А паралелограма і АВ = 4 см, ВС = 12 см. Оскільки ABCD — паралелограм, то ВС ∥ AD, АР — січна при прямих ВС i AD. Отже, ∠АРВ = ∠PAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. Тоді трикутник АРВ — рівнобедрений з основою АР, оскільки ∠ВАР = ∠ВРА. ВР = АВ = 4 см, РС = ВС - ВР = 12 - 4 = 8 (см).

Мал. 22

Відповідь: 4 см, 8 см.

57. Побудуємо (мал. 23) трикутник АОВ за трьома сторонами: АВ — задана сторона паралелограма, а АО і ВО — половини діагоналей АС і BD паралелограма; на променях АО і ВО від т. О відкладаємо відповідно половини ОС і OD даних діагоналей AC i BD паралелограма. ABCD — шуканий паралелограм.

Мал. 23

58. Побудуємо (мал. 24) заданий кут О; на сторонах кута О відкладаємо половини АО і ВО даних діагоналей АС і BD; на променях АО і ВО від т. О відкладаємо відповідно половини ОС і OD даних діагоналей АС і BD паралелограма. ABCD — шуканий паралелограм.

Мал. 24

59. Розглянемо трикутники АВМ і CDK. У них: АВ = CD — за властивістю сторін паралелограма; ∠ВАМ = ∠DCK — за властивістю кутів паралелограма; ∠АВМ = ∠CDK — за умовою, тоді за другою ознакою рівності трикутників: △АВМ = △CDK. Із рівності цих трикутників: AM = СК, тоді ВК = ВС - KC = AD - AM = MD, отже, ВК = MD. У чотирикутнику BMDK маємо: ВК ∥ MD — як відрізки паралельних прямих (ВС ∥ AD) і ВК = MD — за доведеним. Тоді за ознакою паралелограма чотирикутник BMDK — паралелограм, що і треба було довести.

60. Оскільки ВС ∥ AD, то ВК ∥ МD — як відрізки паралельних прямих. Оскільки за умовою задачі AM = СК, тоді BК = ВС - KC = AD - AM = MD, отже, ВК = MD. У чотирикутнику BMDK маємо: ВК ∥ MD — як відрізки паралельних прямих (ВС ∥ АD) і ВК = MD — за доведеним. Тоді за ознакою паралелограма чотирикутник BMDK — паралелограм, що і треба було довести.