ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

531. (див. рис. до № 524). Нехай в △АВС: АВ = 50 см, AD = 18 см, тоді BD = АВ - AD = 50 - 18 = 32 (см). АС² = АВ • AD; АС² = 50 • 18; АС² = 900; АС = 30 см.

ВС² = АВ • BD; ВС² = 50 • 32; ВС² =1600; ВС = 40 см.

Відповідь: 30 см, 40 см.

Достатній рівень

Нехай в △АВС: АВ = ВС, AD = DC, DH ⟂ ВС, НС = 1 см, ВН = 8 см.

△АВС — рівнобедрений, BD — медіана, бісектриса і висота (∠BDC = 90°). DH — висота △BDC, DC² = НС • ВС, DC² = 1 • 9 = 9, DC = 3 cм. AD = DC = 3 см, AC = 6 см. АВ = ВС = 9 см. Р_△АВС = 2 • 9 + 6 = 24 см.

Відповідь: 24 см.

533. (див. рис. до № 532). Нехай в △АВС, АВ = ВС, AD = DC, DH ⟂ ВС, ВН = 6 см, НС = 2 см. АВ = ВС = 6 + 2 = 8 см. BD — медіана, бісектриса і висота △АВС. У △ВDС ∠BDC = 90°, DH ⟂ BC. DC² = НС • BC, DC² = 2 • 8 = 16, DC = 4 см. AC = 4 • 2 = 8 см. Р_△АВС = 2 • 8 + 8 = 24 см.

Відповідь: 24 см.

Нехай △АВС — прямокутний, ∠C = 90°, СН — висота, НВ = 16 см, АН : НС = 3 : 4. АН = 3х см, НС = 4х см. СН² = АН • НВ; (4х)² = 3х • 16; 16х² = 48х | : 16х; х = 3. АН = 3 • 3 = 9 см, СН = 4 • 3 = 12 см.

Відповідь: 12 см.

Нехай дано ABCD — ромб, коло з центром в т. О вписане в ромб. Н — точка дотику, НС = 1 см, ВН = 4 см. Радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний дотичній, тому ОН — висота прямокутного △ВОС. ОН — радіус кола. ОН² = НС • ВС, ОН² = 1 • 4, ОН = 2 см.

Відповідь: 2 см.

Високий рівень

Нехай дано трапецію ABCD, АВ = CD, AD = 10 см, ВС = 8 см. AC ⟂ CD, CH ⟂ AD.

Проведемо висоту ВК, ВС = КН = 8 см, АК = НD = (10 - 8) : 2 = 1 см. АН = 8 + 1 = 9 см, HD = 1 см. △АСD — прямокутний, СН — висота, СН² = АН • HD, CH² = 9 • 1 = 9 см, CH = 3 см.

Відповідь: 3 cм.

538. Hexaй ABCD — трапеція, AB = CD, CH ⟂ AD, BC = 5 cм, AD = 12 см. Проведемо висоту ВК, ВС = КН = 5 см, АК = HD = (13 - 5) : 2 = 4 см. АН = 5 + 4 = 9 см, HD = 4 см. СН — висота △ACD (∠ACD = 90°), СН² = АН • HD, СН² = 9 • 4 = 36, СН = 6 см.

Відповідь: 6 см.

Нехай ABCD — трапеція, АВ = CD, коло з центром в точці О — вписане у ABCD, К — точка дотику, СК = 4 см, KD = 9 см. Висота трапеції дорівнює діаметру кола, ОС і ОВ — бісектриси сусідніх кутів в трапеції, вони перетинаються під прямим кутом. △COD — прямокутний, ОК — його висота, СК і KD — проекції катетів на гіпотенузу. ОК² = СК • KD, ОК² = 4 • 9 = 36, ОК = 6 см, ОК — радіус вписаного кола, висота трапеції 2 • 6 = 12 см.

Відповідь: 12 см.

ABCD — трапеція, коло з центром в т. О вписане у трапецію, М — точка дотику, ВМ = 2 см, AM = 8 см, К — точка дотику, СК = 4 см. ОВ, ОА, ОС, OD — бісектриси кутів, тому △АОВ і △DОС — прямокутні, ОМ — висота, ОМ² = AM • МВ, ОМ² = 8 • 2 = 16 см, ОМ = ОК = 4 см — радіуси кола, ОК — висоти △СОD, ОК² = СК • LD. 4² = 4 • KD; 16 = 4 KD; KD = 4 см. CD = 4 + 4 = 8 см, AB + CD = 10 + 8 = 18 см. Якщо у чотирикутник вписано коло, то AB + CD = ВС + AD, Р_ABCD = 2(АВ + CD), P_ABCD = 2 • 18 = 36 см.

Відповідь: 36 см.

Вправи для повторення

Нехай в △АВС, ∠C = 90°, AL — бісектриса, ∠CAL = 18°. AL — бісектриса ∠A, тому ∠A = 2 • 18° = 36°, сума гострих кутів в прямокутного трикутника 90°, ∠B = 90° - 35° = 54°.

Відповідь: ∠A = 36°, ∠B = 54°.

Нехай дано △АВС і △KLM, ∠A + ∠B = ∠К + ∠L, ∠B + ∠C = ∠L + ∠M.

∠A + ∠B = ∠K + ∠L, тому ∠A = ∠К, ∠В = ∠L.

∠В + ∠C = ∠L + ∠M, тому ∠B = ∠L, ∠C = ∠M.

У △АВС і i△KLM відповідні кути рівні, тому △АВС ~ △КLМ.

ABCD — трапеція, АВ = СD, AC ∩ BD = О, АС — бісектриса ∠А. Діагоналі трапеції рівні, △АОD — рівнобедрений, ∠AOD = ∠ODA, ∠CAD = ∠BAD з умови, ∠BCA = ∠CAD — внутрішні різностороннi. У △ABC i △AOD ∠BAC = ∠BCA = ∠OAD = ∠ODA, a ∠AOD = ∠АВС = ∠BCD.