ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

OS ⟂ AC, OP ⟂ BC як радіуси, проведені в точки дотику. △SOC ~ △POS за гіпотенузою і катетом, тоді SC = PC = 3 см (PS — медіана, бісектриса і висота рівнобедреного △АВС, AS = SC = 6 : 2 = 3 см). BD = 10 - 3 = 7 см.

Нехай ABCD — прямокутник, AL, BN, CN, DL — бісектриси кутів А, В, C, D — відповідно. З △АВК: ∠KBA = 45°, тоді ∠BKA = 180° - (45° + 45°) = 90°, отже, ∠LKN = 90°. Аналогічно для △CAD. Отже, KLMN — прямокутник. Доведемо, що KL = LM = MN = NK. △ALD — рівнобедрений , так як ∠1 = ∠2 = 45°, тоді AL = LD, але AL = MD, оскільки △ВКА = △CMD (за стороною і прилеглими кутами). Таким чином, KL = AL - АК = DL - MD = LM. Отже, в прямокутнику КLMN дві сусідні сторони рівні, тоді KLMN — квадрат.

У △АВС (∠C = 90°) CM — медіана, CL — бісектриса. Оскільки CM = MB = АМ, то CM □ CL. Отже, у △CML CL = ML. Тоді ∠CML = ∠MCL = α. ∠CLB = 2α як зовнішній.

У △CAL ∠АСL = 45°, ∠A = ∠ACM = 45° - α. У △ABC ∠B = 90° - ∠A = 90° - (45° - α) = 45° + α. У △CLB ∠LСВ + ∠СLВ + ∠B = 180°; 45° + 2α + 45° + 3 = 180°; 3α = 90°; α = 30°. Тоді ∠A = 45° - 30° = 15°.

Відповідь: так, 15°.