ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

481. Мал. 133. △АВС і △LKС — прямокутні, ∠BCA = ∠LCK як вертикальні, △АВС ~ △LKC (2-й наслідок з II ознаки подібності трикутників).

Мал. 134. Якщо кут при вершині одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при вершині іншого рівнобедреного трикутника, то ці трикутники подібні, △КLР ~ △MNF.

Мал. 135. ∠C — спільний, ∠CKL = ∠CAB за умовою, тому △CLK ~ △СВА за вдома кутами.

482. Мал. 136. ∠B — спільний, ∠BLK = ∠BCA за умовою, тому △BKL ~ △BAC за двома кутами.

Мал. 137. ∠PMT = 180° - 110° = 70°, у рівнобедрених трикутників кути при вершині рівні, тому △РМТ ~ △HKN.

Мал. 138. Прямокутні трикутники мають спільний гострий ∠C, тому △АВС ~ △FTC.

AB ∥ CD, тому ∠BAO = ∠DCO, ∠ABO = ∠CDO як внутрішні різносторонні, отже, △АОВ ~ △COD за двома кутами.

△АВС ~ △ANM за двома пропорційними сторонами і кутом між ними. У подібних трикутників відповідні кути рівні. отже, ∠AMN = 90°. △AMN — прямокутний.

∠A = ∠М за умовою. Оскільки ∠С = ∠А, ∠Р = ∠M за властивістю рівнобедреного трикутника, то ∠P = ∠С. △АВС ~ △MNP за двома кутами. MN : МР = 5 : 2, тому АВ : АС = 5 : 2. Позначимо АВ = 5х, АС = 2х. Тоді 5х + 5х + 2х = 36. 12х = 36, х = 3. АВ = 5 • 3 = 15 (см), АС = 2 • 3 = 6 (см).

Відповідь: 15 см, 15 см. 6 см.

490. а) Мал. 139. △NАМ ~ △ВАМ за двома рівними кутами. ∠AMN = ∠BМС — як вертикальні, ∠NАМ = ∠МВС як внутрішні різносторонні.

△NAM = △NDC за двома кутами. ∠NAM = ∠NDC як відповідні, ∠N — спільний.

△DNC ~ △BCN за двома кутами. ∠D = ∠В як протилежні кути паралелограма, ∠ВСМ = ∠DNC як внутрішні різносторонні.

б) Мал. 140. △КВС ~ △KAL за двома кутами; ∠КВС = ∠KAL — відповідні, К — спільний.

△КСА = △CLD за двома кутами; ∠KAL = ∠CDL як відповідні, ∠L — спільний.

△КВС ~ △CDL за двома кутами. ∠КВС = ∠CDL як суміжні з рівними, ∠КСВ = ∠CLD як відповідні.

в) Мал. 141. △BPF ~ △CKF за двома кутами; ∠РЕВ = ∠KFC — як вертикальні, ∠РВЕ = ∠KCF — як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих АВ і CD і січній ВС.

△FCK ~ △LKD за двома кутами: ∠FKC = ∠DKL — як вертикальні кути, ∠FCD = ∠CDL як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих ВС i CD і січній CD.