ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

Достатній рівень

461. Оскільки за умовою АВ : ВС : АС = 7 : 8 : 9 і △АВС ~ △А₁B₁С₁, то А₁В₁ : В₁С₁ : А₁С₁ = 7 : 8 : 9. Позначимо А₁В₁ = 7х см, В₁С₁ = 8х см, А₁С₁ = 9х см.

1) 7х = 21 см. х = 21 : 7, х = 3. ВС₁ = 8 • 3 = 24 см, A₁C₁ = 9 • 3 = 27 см.

Відповідь: 24 і 27.

2) 9х - 8х = 5; х = 5. А₁В₁ = 5 • 7 = 35 см, В₁С₁ = 8 • 5 = 40 см, А₁С₁ = 9 • 5 = 45 см.

Відповідь: 35, 45, 40.

3) 7х + 8х + 9х = 48; 24х = 48; х = 48 : 24; х = 2. А₁В₁ = 7 • 2 = 14 см, В₁С₁ = 8 • 2 = 16 см, А₁С₁ = 9 • 2 = 18 см.

Відповідь: 14, 16, 18.

462. Оскільки за умовою △АВС ~ △А₁B₁С₁, АВ : ВС : АС = 5 : 6 : 9. Позначимо у A₁B₁ = 5х см, В₁С₁ = 6х см, А₁С₁ = 9х см.

1) А₁С₁ = 9х = 18; х = 3. В₁С₁ = 6 • 3 = 18 см. А₁В₁ = 5 • 3 = 15 см.

2) 6х - 5х = 3; х = 3. А₁B₁ = 15 см, В₁С₁ = 18 см, А₁С₁ = 9 • 3 = 27 см.

3) 5х + 6х + 9х = 100; 20х = 100; х = 5. А₁В₁ = 5 • 5 = 25 см, В₁С₁ = 6 • 5 = 30 см, A₁C₁ = 9 • 5 = 45 см.

Відповідь: 1), 2) 15 см, 18 см, 27 см; 3) 25 см, 30 см, 45 см.

Високий рівень

△AОВ = △COD, △ВОС = △DOA, △АВС = △CDA, △BCD = △DАВ.

Hexaй ABCD — трапеція, АВ ∥ АD, СО — бісектриса кута BCD, DO — бісектриса кута ADC, MN — середня лінія трапеції. Треба довести, що О є MN.

Оскільки сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, а бісектриси ділять кожний з цих кутів навпіл, то в утвореному △COD:

Оскільки ON = CN, то трикутник OCN — рівнобедрений з основою ОС. ∠CON = ∠NCO — як кути при основі рівнобедреного трикутника.

Так як CO — бісектриса ∠BCD, ∠NCO = ∠BCO, отже, ∠BCO = ∠CON. Ці кути — внутрішні різносторонні при прямих ON і ВС і січній ОС, то ON ∥ ВС і проходить через середину бічної сторони CD. Отже, ця пряма містить середню лінію трапеції. Таким чином, точка О є MN.

468. Оскільки KL ∥ ВС, то ∠AKL = ∠ABC — як відповідні кути при паралельних прямих KL і ВС і січній АВ.

∠ALK = ∠АСВ — як відповідні кути при паралельних прямих KL і ВС і січній АС.