ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

41. За умовою задачі одна з сторін паралелограма дорівнює 18 см, тоді сусідня сторона паралелограма дорівнює 18 см : 2 = 9 см. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то сторони даного паралелограма дорівнюють 9 см; 18 см; 9 см; 18 см. Тоді периметр даного паралелограма дорівнює (18 см + 9 см) • 2 = 54 см.

Відповідь: 54 см.

42. 1) Оскільки сума двох кутів паралелограма за умовою задачі дорівнює 120°, то задані кути протилежні кути паралелограма, бо сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°.

Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то градусна міра кожного з них дорівнює 120° : 2 = 60°. Градусна міра кожного з двох інших кутів паралелограма дорівнює 180° - 60° = 120°.

Отже, кути даного паралелограма дорівнюють 60°; 120°; 60°; 120°.

Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°.

2) Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а отже, їхня сума дорівнює 180°. Нехай х° — величина меншого кута, тоді х° + 30° — величина більшого кута. Отримуємо рівняння: х + х + 30 = 180; 2х = 150; х = 75; х + 30 = 105. 75° — менший кут; 105° — більший кут. Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то кути даного паралелограма дорівнюють 75°; 105°; 75°; 105°.

Відповідь: 75°; 105°; 75°; 105°.

3) Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а їхня сума дорівнює 180°. Нехай х° — величина меншого кута, тоді 3х° — величина більшого кута. Отримуємо рівняння: х + 3х = 180; 4х = 180; х = 45; 3х = 3 • 45 = 135. 45° — менший кут; 135° — більший кут. Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то кути даного паралелограма дорівнюють 45°; 135°; 45°; 135°.

Відповідь: 45°; 135°; 45°; 135°.

4) Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а їхня сума дорівнює 180°. Нехай 2х° — величина меншого кута, тоді 3х°— величина більшого кута. Отримуємо рівняння: 2х + 3х = 180; 5х = 180; х = 36; 2х = 2 • 36 = 72, 3х = 3 • 36 = 108. 72° — менший кут; 108° — більший кут. Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то кути даного паралелограма дорівнюють 72°; 108°; 72°; 108°.

Відповідь: 72°; 108°; 72°; 108°.

43. 1) Оскільки сума двох кутів паралелограма за умовою задачі дорівнює 200°, то задані кути протилежні кути паралелограма, бо сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°.

Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то градусна міра кожного з них дорівнює 200° : 2 = 100°. Градусна міра кожного з двох інших кутів паралелограма дорівнює 180° - 100° = 80°.

Отже, кути даного паралелограма дорівнюють 80°; 100°; 80°; 100°.

Відповідь: 80°; 100°; 80°; 100°.

2) Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а їхня сума дорівнює 180°. Нехай х° — величина меншого кута, тоді х° + 40° — величина більшого кута. Отримуємо рівняння: х + х + 40 = 180; 2х = 140; х = 70; х + 40 = 110. 70° — менший кут; 110° — більший кут. Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то кути даного паралелограма дорівнюють 70°; 110°; 70°; 110°.

Відповідь: 70°; 110°; 70°; 110°.

3) Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а їхня сума дорівнює 180°. Нехай х° — величина меншого кута, тоді 2х° — величина більшого кута. Отримуємо рівняння; х + 2х = 180; 3х = 180; х = 60; 2х = 2 • 60 = 120. 60° — менший кут; 120° — більший кут. Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то кути даного паралелограма дорівнюють 60°; 120°; 60°; 120°.

Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°.

4) Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а їхня сума дорівнює 180°. Нехай 4х° — величина меншого кута, тоді 5х°— величина більшого кута. Отримуємо рівняння: 4х + 5х = 180; 9х = 180; х = 20; 4х = 4 • 20 = 80, 5х = 5 • 20 = 100. 80° — менший кут; 100° — більший кут. Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то кути даного паралелограма дорівнюють 80°; 100°; 80°; 100°.

Відповідь: 80°; 100°; 80°; 100°.

44. Нехай у паралелограмі ABCD: ∠BAD = 80°, ∠ACD = 50° (мал. 16). Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то ∠АСВ = ∠DCB - ∠DCA = ∠BAD - ∠DCA = 80° - 50° = 30°. Оскільки сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°, то ∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 80° = 100°.

Відповідь: ∠АСВ = 30°, ∠ABC =100°.

Мал. 16.

45. Нехай у паралелограмі ABCD: ∠ВАС = 35°, ∠BCA = 40° (мал. 17). Із трикутника ABC маємо: ∠АВС = 180° - ∠ВАС - ∠ВСА = 180° - 35° - 40° = 105°. Оскільки сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°, то ∠BAD = 180° - ∠АВС = 180° - 105° = 75°.

Мал. 17.

Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, то кути паралелограма дорівнюють: 75°, 105°, 75°, 105°.

Відповідь: 75°, 105°, 75°, 105°.

46. На мал. 30 відмічені кути повинні бути рівними, бо ці кути є внутрішніми різносторонніми кутами при паралельних прямих і січній.

На мал. 31 відмічені відрізки 4 і 5 повинні бути рівними, бо діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

На мал. 32 відмічені кути, які прилягають до сторони паралелограма, в сумі повинні складати 180°, проте 130° + 60° ≠ 180°.

47. 1) Нехай х см — менша сторона, тоді (х + 4) см — більша сторона. Отримуємо рівняння: (х + х + 4) • 2 = 40; х + х + 4 = 20; 2х + 4 = 20; 2х = 16; х = 8, тоді х + 4 = 12. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то сторони даного паралелограма дорівнюють 8 см; 12 см; 8 см; 12 см.

Відповідь: 8 см; 12 см; 8 см; 12 см.

2) Нехай 3х см — менша сторона, тоді 7х см — більша сторона. Отримуємо рівняння: (3х + 7х) • 2 = 40; 10х = 20; х = 2, тоді 3х = 3 • 2 = 6, 7х = 7 • 2 = 14. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то сторони даного паралелограма — 6 см; 14 см; 6 см; 14 см.

Відповідь: 6 см; 14 см; 6 см; 14 см.

48. 1) Нехай х см — менша сторона, тоді (х + 2) см — більша сторона. Отримуємо рівняння: (х + х + 2) • 2 = 36; х + х + 2 = 18; 2х + 2 = 18; 2х = 16; х = 8, тоді х + 2 = 10. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то сторони даного паралелограма — 8 см; 10 см; 8 см; 10 см.

Відповідь: 8 см; 10 см; 8 см; 10 см.

2) Нехай х см — менша сторона, тоді 5х см — більша сторона. Отримуємо рівняння: (х + 5х) • 2 = 36; 6х = 18; х = 3, тоді 5х = 5 • 3 = 15.

Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то сторони даного паралелограма — 3 см; 15 см; 3 см; 15 см.

Відповідь: 3 см; 15 см; 3 см; 15 см.

49. Оскільки BD = 20 см, то за властивістю діагоналей паралелограма маємо: BO = BD : 2 = 20 см : 2 = 10 см. Оскільки периметр трикутника АОВ дорівнює 32 см, тоді АО = 32 - АВ - ВО = 32 - 10 - 15 = 7 (см).

Оскільки діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то АС = 2АО = 2 • 7 = 14 (см).

Відповідь: 14см.

50. Оскільки ∠1 і ∠2 — внутрішні різносторонні кути при прямих ВС і AD та січній АС і ∠1 = ∠2 (за умовою задачі), то маємо: ВС ∥ AD (за ознакою паралельності прямих). Оскільки ∠3 і ∠4 — внутрішні різносторонні кути при прямих АВ і CD та січній АС і ∠3 = ∠4 (за умовою задачі), то: АВ ∥ CD (за ознакою паралельності прямих). Оскільки ВС ∥ AD і АВ ∥ CD, то ABCD — паралелограм, що і треба було довести.