ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

421. У трикутнику ABC проведено середні лінії DF, DE, FE і АВ = 12 см, DE = 5 см, P_DFE = 18 см. Оскільки АВ = 12 см, то FE = 6 см за властивістю середньої лінії трикутника. Оскільки DE = 5 см, FE = 6 cм i P_DFE = 18 см, то DF = P_DFE - DE - FE = 18 - 6 - 5 = 7 (см). За теоремою про середню лінію трикутника маємо: АС = 2DE = 2 • 5 = 10 (см) і ВС = 2DF = 2 • 7 = 14 (см).

Відповідь: 10 см і 14 см.

422. У трикутнику ABC проведено середні лінії DF, DE, FE і P_DEFA = 22 см, Р_DECF = 24 см, Р_BDFE = 26 см. Нехай BE = х см, AF = у см, AD = z см. Тоді 2y + 2z = 22, 2x + 2y = 24, 2x + 2z = 26. Звідси y + z = 11, x + у = 12, x + z = 13. Тоді додавши почленно три останні рівності отримаємо: 3х + 3у + 3а = 36 або х + у + z = 12.

Тоді P_△DFE = х + у + z = 12 (см) і Р_△ABC = АВ + ВС + АС = 2х + 2у + 2z = 2 (х + у + z) = 24 (см).

Відповідь: 12 см і 24 см.

423. Нехай задано три точки D, F, Е — середини сторін трикутника ABC. Через точки D, F, Е проводимо прямі АВ, АС, ВС, які паралельні відповідно прямим FE, DE, DF. Трикутник ABC — шуканий.

424. ABCD — квадрат; М, N, P, Q — середини його сторін. Оскільки ABCD — квадрат, то △MBN = △NCP = △MAQ = △PDQ і вони рівнобедрені. Отже, ∠BNM = ∠BMN = ∠CNP = ∠CPN = ∠QPD = ∠DQP = ∠AQM = ∠AMQ = 45°. Тоді чотирикутник MNPQ — паралелограм, у якого всі сторони рівні і ∠MNP = ∠NPQ = ∠PQM = ∠NMQ = 90°. Отже, MNPQ — квадрат. Оскільки AC = d см, тоді MN = 0,5d см і P_MNPQ = 4MN = 2d см

Відповідь: Квадрат. 2d см.

До § 11.

428. ABCD — трапеція, ВК = KR = RP = PA, CT = TQ = QO = OD, ВС = 12 см, AD = 20 см.

За теоремою про середню лінію трапеції маємо:

429. Нехай АВСD — трапеція, BC ∥ AD, MN — середня лінія трапеції ABCD, MN = 18 см. Оскільки MK = 2KN і MN = 18 см, то KN = 18 : 3 • 1 = 6 (см), МК = 18 : 3 • 2 = 12 (см). В трикутнику ABD за теоремою про середню лінію трикутника маємо: AD = 2МК = 2 • 12 = 24 (см). В трикутнику CBD за теоремою про середню лінію трикутника маємо: BC = 2NK = 2 • 6 = 12 (см).

Відповідь: 12 см і 24 см.

431. Нехай ABCD — трапеція, ВС ∥ AD, MN — середня лінія трапеції АВСD, МК = 7 cм, KL = 8 см, LN = 7 см.

МК — середня лінія трикутника АВС. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: ВС = 2МК = 2 • 7 = 14 (см).

ML — середня лінія трикутника ABD, ML = МК + KL = 7 + 8 = 15 (см). За теоремою про середню лінію трикутника маємо: AD = 2ML = 2 • 15 = 30 (см).

Відповідь: 14 см, 30 см.

432. Нехай у рівнобічній трапеції АВСD (AD ∥ ВС, AB = DC) діагоналі АС і BD перетинаються в точці О під кутом 90°, KL — середня лінія. Утворені трикутники AOD й ВОС прямокутні та рівнобедрені. Оскільки у трикутнику AOD АО = OD, то ∠OAD = 45°. Аналогічно, а трикутника ВОС ∠ОВМ = 45°. Проведемо через точку О висоту трапеції MN.

Утворилися прямокутні трикутники з гострим кутом 45°, тобто трикутники AON і ВОМ рівнобедрені: AN = ON, ВМ = ОМ. Одержуємо: MN = МО + ON = ВМ + AN = KL, що й потрібно було довести.