ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

До § 9.

411. На малюнку 122 за теоремою Фалеса маємо: В₁В₂ = В₂В₃.

412. Поділити даний відрізок АВ на 9 рівних частин, не використовуючи лінійку з поділками.

Проводимо довільний промінь AM.

Відкладемо на промені AM рівні відрізки АА₁ = A₁A₂ = А₂А₃ = A₃A₄ = А₄А₅ = A₅A₆ = А₆А₇ = А₇А₈ = А₈А₉.

Проводимо від різок А₉В.

Через точки А₁, А₂, А_3, А₄, А₅, А₆, А₇, А₈ проведемо прямі, паралельні до відрізка A₉B. B₁, В₂, В₃, В₄, В₅, В₆, В₇, В₈ — точки їх перетину з відрізком АВ.

Маємо: АВ₁ = В₁В₂ = В₂В₃ = В₃В₄ = В₄B₅ = B₅B₆ = B₆B₇ =B₇B₈ = B₈B (за теоремою Фалеса). Отже, відрізок АВ поділено на 9 рівних частин.

413. Проводимо довільний промінь AM. Відкладемо на промені AM відрізки AA₁ = 3а, A₁A₂ = а, А₂A₃ = 2а, де а — деякий одиничний відрізок. Проводимо відрізок А₃В.

Через точки A₁ і А₂ проведемо прямі, паралельні до відрізка А₃В. В₁ і В₂ — точки їх перетину з відрізком АВ. Маємо: АВ₁ = 3с, В₁В₂ = с, В₂В = 2с (за теоремою Фалеса). Отже, відрізок АВ поділено на 3 частини, відношення яких дорівнює 3 : 1 : 2.

414. Оскільки BN = NC і КК₁ ∥ NN₁, то BN₁ = K₁N₁ (за теоремою Фалеса).

Оскільки KN = KM = MA і NN₁ ∥ KK₁ ∥ MM₁, то K₁N₁ = К₁М₁ = М₁А (за теоремою Фалеса).

Оскільки BN₁ = K₁N₁ і K₁N₁ = К₁М₁ = М₁А, то ВК₁ = К₁А. Отже, пряма СК ділить сторону АВ навпіл.

До § 10.

415. За теоремою про середню лінію трикутника маемо: АВ = 2DC = 2 • 5 = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

417. У трикутнику АВС проведено середні лінії DF, DE, FE і CF = 5 см, СЕ = 3 cм, FE = 7 см. Тоді AC = 2CF = 2 • 5 = 10 (см), ВС = 2СЕ = 2 • 3 = 6 (см). За теоремою про середню лінію трикутника маемо: АВ = 2FE = 2 • 7 = 14 (см). Тоді Р_△ABC = АВ + ВС + АС = 10 + 6 + 14 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

418. Якщо трикутник є рівностороннім, то у трикутнику три його середні лінії рівні. Нехай у рівносторонньому трикутнику ABC точки D, Е, F — середини сторін трикутника ABC, DE = 2 см. Тоді Р_△АВС = АВ + ВС + АС = 3АВ = 3 • 4 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

419. У рівнобедреному трикутнику ABC (АС = ВС = 7 см і Р_△ABC = 20 см) проведено середні лінії DF, DE, FE. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: АВ = 2FE. Враховуючи, що АВ + ВС + АС = 20 і АС = ВС = 7 см, АВ = 2FE, маємо 2FE + 7 + 7 = 20, звідси 2FE = 6; FE = 3.

Відповідь: 3 см.