ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

403. Шукане геометричне місце точок - дві дуги кіл із центрами О₁ і О₂, з яких MN видно під кутом 2α.

До § 8.

404. 1) Нехай сторони чотирикутника ABCD дорівнюють АВ = 5 см, ВС = 3 см CD = 4 см, AD = 6 см. Тоді АВ + CD = 5 см + 4 см = 9 см, а ВС + AD = 3 см + 6 см = 9 см. Оскільки, в чотирикутнику ABCD суми протилежних сторін рівні АВ + CD = BC + AD, то в нього можна вписати коло.

Відповідь: можна.

2) Нехай сторони чотирикутника ABCD дорівнюють АВ = 3 дм, ВС = 7 дм, CD = 8 дм, AD = 10 дм. Тоді АВ + CD = 3 дм + 8 дм = 11 дм, а ВС + AD = 7 дм + 10 дм = 17 дм. Оскільки, в чотирикутнику ABCD суми протилежних сторін не рівні АВ + CD ≠ ВС + AD, то в нього не можна вписати коло.

Відповідь: не можна.

406. Оскільки коло вписане в чотирикутник ABCD, то AB + CD = ВС + AD. Тоді AD = AB + CD - ВС = 3 см + 10 см - 9 см = 4 см.

Відповідь: 4 см.

407. Оскільки ∠АВС + ∠ADC = 100° + 80° = 180° чотирикутник ABCD є вписаним в коло, то у нього суми протилежних кутів дорівнюють по 180°. Тоді ∠BAC = 180° - ∠BCD = 180° - 30° = 150°.

Відповідь: ∠А = 150°.

408. Знайдемо градусні міри першого та третього кутів:

410. Нехай ABCD — прямокутна трапеція, AD ∥ ВС, AB ⟂ AD. ∠BCD = 5∠ADC за умовою задачі. Нехай ∠ADC = х°, тоді ∠BCD = 5х° і за властивістю кутів трапеції маємо ∠ADC + ∠BCD = 5х + х = 180, 6х = 180, х = 30.

Отже, ∠ADC = 30°, a ∠BCD = 120°. Отже, в трапеції ABCD CD = 2а — за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°. Оскільки коло вписане в трапецію ABCD, то АВ + CD = ВС + AD = a + 2a = 3a.

Тоді Р_ABCD = 2(АВ + СD) = 6а.

Відповідь: 6а.