ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

351. Нехай у чотирикутнику ABCD: ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C= 180°. Оскільки ∠A і ∠B — внутрішні односторонні кути при прямих ВС і AD та січній АВ і ∠A + ∠B = 180° (за умовою задачі), то маємо: ВС ∥ AD (за ознакою паралельності прямих). Оскільки ∠B і ∠C — внутрішні односторонні кути при прямих АВ і CD та січній ВС i ∠B + ∠C = 180° (за умовою задачі), то маємо: АВ ∥ CD (за ознакою паралельності прямих). Оскільки ВС ∥ AD i АB ∥ CD, то ABCD — паралелограм, що і треба було довести.

352. Нехай у чотирикутнику ABCD: AD = ВС, ∠1 = ∠2. Оскільки ∠1 і ∠2 — внутрішні різносторонні кути при прямих ВС і AD та січній BD і ∠1 = ∠2 (за умовою задачі), то маємо: ВС ∥ AD (за ознакою паралельності прямих). Оскільки ВС ∥ AD і AD = ВС, то за ознакою паралелограма ABCD — паралелограм, що і треба було довести.

353. Нехай прямі а і b перетинаються в точці О. Відклавши від точки О : ОА = ОС, ОВ = OD, отримаємо АВСD — паралелограм.

354. Одночасно виконуватися рівності не можуть, бо ∠A + ∠B + ∠C > 180°, а з іншого боку ∠E + ∠N + ∠M = 180°.

Відповідь: не можна.

355. Оскільки AM = BN і AM ∥ BN, то ABNM — паралелограм, у якого діагоналі AN і ВМ перетинаються і точкою перетину діляться пополам.

356. Існує три паралелограма.

357. Нехай у паралелограмі ABCD BK ⟂ AD, BL ⟂ CD. Тоді ∠KBL = ∠ABC - ∠1 - ∠2 = ∠ABC - (90° - ∠A) - (90° - ∠C) = ∠ABC - 90° + ∠A - 90° + ∠C = (∠ABC + ∠A) - 180° + ∠C = 180° - 180° + ∠C = ∠C. Отже, кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, дорівнює куту паралелограма при сусідній вершині.

358. Нехай АК і CL — бісектриси двох протилежних кутів паралелограма ABCD. Оскільки ∠A = ∠C, то ∠1 = ∠2 (як половини рівних кутів). Оскільки ВС ∥ AD, то ∠1 = ∠3 (як внутрішні різносторонні). ∠1 = ∠2 і ∠1 = ∠3, то ∠2 = ∠3. Оскільки ∠2 і ∠3 — відповідні кути при прямих АК і LC та січній AL і ∠2 = ∠3, тому АК ∥ CL.

Отже, бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні або лежать на одній прямій (див. рис.).

359. У чотирикутнику KBND два кути прямі, третій дорівнює 30°, отже, четвертий кут дорівнює 150°. За властивістю кутів паралелограма ∠A + ∠D = 180°, отже, ∠A = 180° - ∠B = 180° - 150° = 30°. У трикутнику ABК ∠АКВ = 90°, ∠ВАК = 30°, ВК = 3 см, отже, AB = 2ВК = 2 • 3 = 6 (см). За властивістю кутів паралелограма ∠C = ∠A = 30°. Тоді в трикутнику BNC (∠BNC = 90°) ВС = 2BN = 2 • 5 = 10 (см). Таким чином, Р_ABCD = 2(АВ + ВС) = 2(6 + 10) = 32 (см).

Відповідь: 32 см.

360. Спочатку будуємо трикутник АВН за гіпотенузою (дана сторона) і катетом (дана висота). На промені АН від точки А відкладаємо відрізок AD, який дорівнює другій даній стороні. Проводимо ВС ∥ АН і ВС = AD. Тоді ABCD — шуканий паралелограм.