Завдання 301-313 - ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

301. Нехай ABCD — даний прямокутник; АС = BD = 10 см; точки Е, F, G, H — середини сторін AB, ВС, CD і AD відповідно. Чотирикутник EFGH — ромб, тому що за теоремою про середню лінію трикутника маємо:

302. Нехай ABCD — даний ромб; точки М, К — середини сторін AD і CD відповідно. За властивістю діагоналей ромба маємо АС ⟂ BD.

За теоремою про середню лінію трикутника маємо: МК ∥ АС. Оскільки МК ∥ АС і АС ⟂ BD, то, що і треба було довести.

303. Нехай ABC — даний рівнобедрений трикутник АВ = АС; точки Е, F — середини сторін АВ і АС відповідно; АК медіана трикутника ABC.

За властивістю медіани рівнобедреного трикутника маємо АК ⟂ BC. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: EF ∥ АС. Оскільки EF ∥ АС і АК ∥ ВС, то EF ⟂ АС, що і треба було довести.

304. Нехай △АВС = △А₁В₁С₁ точки М, N, L — середини сторін трикутника ABC; точки M₁, N₁, L₁ — середини сторін трикутника А₁В₁С₁. Оскільки △АВС = △А₁В₁С₁ то AB = A₁B₁, ВС = B₁С₁, АС = A₁C₁. За теоремою про середню лінію трикутника маємо:

Високий рівень

305. Нехай АВС — даний прямокутний трикутник, у якому ∠C = 90°, АС = СВ, АМ = МС. МК ⟂ АВ, СО ⟂ АВ, МК = а (см).

У трикутнику ABC ∠А = ∠В = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. CO — висота, медіана трикутника ABC, CO = АО. МК — середня лінія трикутника АСО, тоді СО = 2МК = 2а см. АВ = 2АО = 4а см.

Відповідь: 4а см.

306. Нехай ABC — даний прямокутний трикутник, у якому ∠С = 90°, АС = СВ, СК = КВ. МК ⟂ АВ, СО ⟂ АВ, АВ = 20 (см).

У трикутнику АВС ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. CO — висота, медіана трикутника ABC, CO = AО. МК — середня лінія трикутника ВСО, тоді АО = АВ : 2 = 10 см. МК = СО : 2 = 5 см.

Відповідь: 5 см.

309. У рівнобедреному трикутнику KLM (KL = KM), LN = NK, NF ⟂ LM, NF = 9 (см). Тоді за властивістю середньої лінії трикутника НК = 2NF = 2 • 9 = 18 (см).

Вправи для повторення

310. Оскільки ∠A = 40°, ∠B = 80°, то ∠C = 180 ° - 40° - 80° = 60°. За теоремою про вписаний кут маємо:

∠AOB = 2∠C = 2 • 60° = 120°, ∠BOC = 2∠A = 2 • 40° = 80°, ∠COA = 2∠B = 2 • 80 = 160°.

Відповідь: 120°, 80°, 160°.

311. У ромбі ABCD AB = BD, ∠DBC = 30°, АС = 7 (см), тоді ∠ABC = 2 • 30° = 60°, ∠ВАС = ∠САВ = 60°, AB = BD = AD тобто трикутник ABD — рівносторонній і тоді 4 • 7 = 28 (см).

Відповідь: 28 см.