ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

211. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, AD ∥ ВС, АВ = CD, ∠ВСА = 20°, АВ = ВС — за умовою задачі, тоді ∠CAD = ∠ВСА = 20° як різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Із рівнобедреного трикутника ABC маємо ∠В = 180° - 2∠АСВ = 180° - 2 • 20° = 140°, ∠BAD = 180° - ∠B = 180° - 140° = 40°. Отже, в рівнобічній трапеції АВСD за властивістю кутів ∠А = ∠D = 40°, ∠В = ∠С = 140°.

Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.

212. Нехай ABCD — трапеція, AD ∥ ВС, ∠BAC = ∠DAC — за умовою задачі, тоді ∠CAD = ∠ВСА як різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Оскільки ∠ВАС = ∠DAC і ∠CAD = ∠ВСА, то ∠BAC = ∠ВСА, отже, трикутник ABC — рівнобедрений.

Із рівнобедреного трикутника ABC маємо АВ = ВС, що і треба було довести.

214. △АВК = △DCM за гіпотенузою та катетом, отже, АК = MD. Чотирикутник КВСМ — прямокутник (ВС ∥ КМ, ВК ∥ CM, ∠ВКМ = ∠СМК = 90°), Звідси КМ = ВС = b. Таким чином, АК + МD = а - b. З рівності відрізків АК і MD випливає,

215. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, АD ∥ ВС, АВ = CD. Проведемо висоти ВК і СМ (ВК ⟂ AD, CM ⟂ AD), тоді АК = 2 см і KD = 7 см за умовою задачі. △АВК = △DCM за гіпотенузою та катетом, отже, MD = АК = 2 см.

Чотирикутник КВСМ — прямокутник (ВС ∥ КМ, ВК ∥ СМ, ∠ВКМ = ∠СМК = 90°). Звідси ВС = КМ = KD - MD = 7 - 2 = 5 (см), АD = АК - КD = 7 + 2 = 9 (см). Отже, в трапеції ABCD маємо ВС = 5 см, AD = 9 см.

Відповідь: 5 см, 9 см.

Високий рівень

216. Нехай у трапеції ABCD АС = BD. Проведемо BF ⟂ AD, СК ⟂ AD, тоді FBCK — прямокутник. △ACK = △DBF (оскільки BF = СК — як протилежні сторони прямокутника, АС = BD — за умовою, ∠АКС = ∠DFB = 90°). Із рівності цих трикутників випливає, що ∠CAD = ∠BDA. △ACD = △DBA (оскільки АС = BD — за умовою, AD — спільна сторона, ∠CAD = ∠BDA — за доведеним). Із рівності трикутників випливає, що AB = CD, тобто ABCD — рівнобедрена трапеція.

217. Нехай ABCD — трапеція, АВ ∥ DC, ∠BAC = ∠DAC — за умовою задачі, тоді ∠CAD = ∠ВСА як різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Оскільки ∠BAC = ∠DAC і ∠CAD = ∠ВСА, то ∠BAC = ∠BСА, отже, трикутник ABC — рівнобедрений. Із рівнобедреного трикутника ABC маємо АВ = ВС, що і треба було довести.

218. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, AD ∥ ВС, АВ = CD. ∠BAC = 18°, AD = DC — за умовою задачі, тоді △CAD — рівнобедрений. Нехай ∠A = ∠D = x°, тоді

219. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, AD ∥ ВС, АВ = CD. Проведемо висоту ВК (ВК ⟂ AD). Оскільки ∠AOD = 90° за умовою і ∠OAD = ∠ODA = 45° за властивістю рівнобічної трапеції, то й у трикутнику BKD (∠BKD = 90°) ∠KBD = 45°. Тому трикутник BKD — рівнобедрений, отже, ВК = КD. Але, як було доведено,

220. Hexaй ABCD — прямокутна трапеція, AD ∥ ВС, AB ⟂ AD. ∠CDA = ∠ACB = 60° — за умовою задачі. Нехай ВС = х см, тоді із трикутника ABC (∠BAC = 90° - ∠ACB = 90° - 60° = 30°) маємо: АС = 2ВС = 2х (см) за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°. Трикутник ACD рівносторонній оскільки ∠CDA = 60° — за умовою; ∠CAD = ∠ACB = 60° — як різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС; ∠ACD = 180° - ∠CAD - ∠CDА = 180° - 60° - 60° = 60°. Тоді AD = АС = 2х (см) і AD : ВС = 2х : х = 2.

Відповідь:2.