ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

201. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, AD ∥ ВС, АВ = CD. Проведемо висоту ВК (ВК ⟂ AD), тоді ∠АВК = 56° за умовою задачі. ∠A = 90° - ∠АВК = 90° - 56° = 24°, ∠D = ∠А = 24°, ∠ABC = 180° - ∠A = 180° - 24° = 156°, ∠В = ∠С = 156° — за властивістю кутів трапеції. Отже, в трапеції ABCD ∠А = ∠D = 24°, ∠B = ∠C = 156°. ∠ADC + ∠BCD = 2x° + x° = 180°.

Відповідь: 24°, 156°, 24°, 156°.

202. Нехай ABCD — трапеція, AB ∥ DC, бічні сторони якої AD і ВС перетинаються в точці Е, ∠ECD = 40°, ∠BEA = 70°. Тоді ∠EDC = 180° - 40° - 70° = 70°, оскільки сума кутів трикутника EDC дорівнює 180°. За властивістю суміжних кутів маємо: ∠ADC = ∠EDC = 180° - 70° = 110°, ∠BCD = ∠ЕCD = 180° - 40° = 140°.

∠A = 180° - ∠ADC = 180° - 110° - 70°, ∠B = 180° - ∠BCD = 180° - 140° = 40° — за властивістю кутів трапеції. Отже, в трапеції ABCD ∠A = 70°, ∠B = 40°, ∠C = 140°, ∠D = 110°.

Відповідь: 70°, 40°, 140°, 110°.

203. Нехай ABCD — трапеція, AD ∥ ВС. Проведемо BE (BE ∥ CD), тоді ∠ABE = 60°, ∠BEA = 40°. Тоді ∠A = 180° - 40° - 60° = 80°, оскільки сума кутів трикутника ABE дорівнює 180°. За властивістю кутів трапеції маємо: ∠ABC = 180° - ∠ВАЕ = 180° - 80° = 100°. Оскільки BCDE — паралелограм, то ∠CDA = ∠BЕA = 40°, ∠C = 180° - ∠D = 180° - 40° = 140° — за властивістю кутів трапеції. Отже, в трапеції ABCD ∠A = 80°, ∠B = 100°, ∠C = 140°, ∠D = 40°.

Відповідь: 80°, 100°, 140°, 40°.

204. Hexaй ABCD — прямокутна трапеція, AD ∥ ВС, AB ⟂ AD. ∠BCD = 2∠ADC за умовою задачі. Нехай ∠ADC = х°, тоді ∠BCD = 2х° і за властивістю кутів трапеції маємо, 3х = 180; х = 60. Отже, ∠ADC = 60°, a ∠BCD = 120°. Отже, в трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°, ∠С = 120°, ∠D = 60°.

Відповідь: 90°, 90°, 120°, 60°.

205. Нехай АВСD — прямокутна трапеція , AD ∥ ВС, AB ⟂ AD. ∠BCD = ∠ADC + 40° за умовою задачі. Нехай ∠ADC = х°, тоді ∠BCD = х° + 40° і за властивістю кутів трапеції маємо ∠ADC + ∠BCD = х° + 40° + х° = 180°, 2х + 40 = 180; 2х = 140, х = 70. Отже, ∠ADC = 70°, а ∠BCD = 110°. Отже, в трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°, ∠C = 110°, ∠D = 70°.

Відповідь: 90°, 90°, 110°, 70°.

206. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, AD ∥ ВС, AB = CD. Проведемо висоту ВН (ВН ⟂ AD), тоді AB = 2ВН за умовою задачі. Оскільки AB = 2ВН, то в трикутнику ABH ∠А = 30°, тоді ∠D = ∠A = 30°, ∠ABC = 180° - ∠А = 180° - 30° = 150°, ∠С = ∠B = 150° — за властивістю кутів трапеції. Отже, в трапеції ABCD ∠A = ∠D = 30°, ∠B = ∠C = 150°.

Відповідь: 30°, 150°, 30°, 150°.

Достатній рівень

207. Нехай ABCD — трапеція, AD ∥ ВС, бічні сторони якої АВ і CD, ∠A + ∠C = 180°. Нехай ∠А = α, тоді ∠АВС = 180° - α° — за властивістю кутів трапеції. Оскільки за умовою ∠А + ∠С = 180°, тоді ∠С = 180° - ∠А = 180° - α°.

За властивістю кутів трапеції маємо: ∠D = 180° - ∠С = 180° - (180° - α°) = α°. Отже, в трапеції ABCD ∠А = ∠D = α°, ∠В = ∠С = 180° - α°, тобто трапеція ABCD — рівнобічна.

Відповідь: рівнобічна.

209. Нехай АВСD — прямокутна трапеція, AD ∥ ВС, AB ⟂ AD. ∠CDA = 45°, АВ = ВС = 18 см — за умовою задачі. Проведемо висоту CH (CH ⟂ AD), тоді ∠HCD = 90° - 45° = 45° і із трикутника HCD маємо: HD = СН = АВ = 18 (см) за властивістю прямокутного трикутника з кутом 45°. Тоді AD = АН + HD = BC + HD = 18 + 18 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.