ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас
171. У квадраті ABCD (мал. 74) OK = 3 см — за умовою, тоді РABCD = 4АВ = 4 • 2ОК = 8ОК = 8 • 3 = 24 (см).
Мал. 74.
Відповідь: 24 см.
173. Проведемо діагональ BD. За властивістю діагоналей квадрата діагоналі BD i АС перпендикулярні, перетинаються в точці О і діляться нею навпіл: BO = OD, АО = СО. Оскільки АЕ = CF, то ОЕ = OF. Отже, у чотирикутнику BFDE діагоналі перпендикулярні, перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Таким чином, чотирикутник BMDK — ромб за ознакою.
174. △AEF = △CGH — за двома катетами. Із рівності цих трикутників випливає, що EF = GH. △ВЕН = △DGF — за двома катетами. Із рівності цих трикутників випливає, щo EN = GF. Отже, чотирикутник EHGF — паралелограм згідно з ознакою паралелограма. Оскільки, в паралелограмі EHGF ∠EFG = 180° - ∠AFE - ∠DFG = 180° - 45° - 45° = 90°, то EHGF — прямокутник згідно з ознакою прямокутника.
175. ∠ВАС = 90° — за умовою задачі, ∠ОВА = ∠ОСА = 90° — за властивістю дотичної до кола. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360° і три з них по 90° (мал. 75), то й четвертий кут дорівнює 90°. Отже, у даному чотирикутнику протилежні кути рівні. Він є паралелограмом за ознакою, а оскільки в цьому паралелограмі всі кути прямі, то він прямокутник за означенням.
Мал. 75.
Оскільки в прямокутнику ОВАС сусідні сторони (ОС = ОВ) рівні, то прямокутник ОВАС є квадратом.
Високий рівень
176. Нехай АВС (мал. 76) — даний прямокутний трикутник, у якому ∠С = 90°, АС = СВ = b см, СКNМ — квадрат.
Мал. 76.
У трикутнику ABC ∠А = ∠В = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. Отже, у трикутнику AKN, де ∠AKN = 90° (оскільки CKNM — квадрат), теж ∠ANK = ∠KAN = 45°. Таким чином, трикутник AKN — рівнобедрений, АК = KN. Аналогічно в трикутнику NMB, де ∠NMB = 90°, ∠MNB = ∠B = 45° і NM = MB. Отже, СА = СК + KA = СК + KN = b (см). Звідси PCKNM = 2 • (СК + КА) = 2b см.
Відповідь: 2b см.
177. Нехай АВС (мал. 77) — даний прямокутний трикутник, у якому ∠C = 90°, АС = СВ, KMNL — квадрат. PKMNL = 12 см.
Мал. 77.
У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. Отже, у трикутнику AKL, де ∠AKL = 90° (оскільки KMNL — квадрат), теж ∠ALK = ∠KAL = 45°. Таким чином, трикутник AKL — рівнобедрений, АК = КL. Аналогічно в трикутнику NMB, де ∠NMB = 90°, ∠MNB = ∠В = 45° і NM = MB. Оскільки PKMNL = 12 см, то NM = 12 : 4 = 3 (см). Отже, BA = 3NM = 3 • 3 = 9 (см).
Відповідь: 9 см.
178. Нехай ABCD (мал. 78) — даний квадрат, АВК, BCL, CDM, AND — дані рівносторонні трикутники.
Мал. 78.
В чотирикутнику KLMN діагоналі КМ і LN перетинаються рівні і в точці перетину О діляться пополам, бо OK = OL = ОМ = ON (як сума половини сторони квадрата і висоти рівностороннього трикутника). Тому KLMN — квадрат.
Вправи для повторення
179. У ромбі ABCD (мал. 79) ∠1 = 30, тоді ∠ABC = ∠1 • 2 = 30° • 2 = 60° — за властивістю діагоналей ромба.
Мал. 79.
Тоді ∠BCD = 180° - ∠ABC = 180° - 60° = 120° — за властивістю сусідніх кутів ромба. ∠ADC = ∠ABC = 60°, ∠ВАС = ∠BCD = 120° — за властивістю протилежних кутів ромба
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.
180. Позначимо кути даного чотирикутника ∠A = х°, ∠B = 3х°, ∠C = 4х° і ∠D = 10х°. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, то х + 3х + 4х + 10х = 360. Отримуємо: 18х = 360; х = 20. Тоді ∠A = 20°, ∠B = 3х° = 60°; ∠C = 4х° = 80°; ∠D = 10х° = 200°. У чотирикутнику один з кутів більший від розгорнутого. Отже, чотирикутник неопуклий.
Відповідь: 20°; 60°; 80°; 200°. Неопуклий.
181. Нехай у паралелограмі ABCD (мал. 80) ВК — бісектриса кута В паралелограма і АК : KD = 3 : 5. Оскільки ABCD — паралелограм, то ВС ∥ AD,
Мал. 80.
ВК — січна при прямих ВС і AD. Отже, ∠АКВ = ∠КВС як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. Тоді трикутник АКВ — рівнобедрений з основою ВК, оскільки ∠АВК = ∠КВА. АК = АВ = 3х см, KD = 5х см. За умовою задачі 2(3х + 8х) = 110, тоді 3х + 8х = 55; 11х = 55; х = 5. Отже, АВ = 3 • 5 = 15 (см), ВС = 8 • 5 = 40 (см).
Відповідь: 15 см; 40 см; 15 см; 40 см.
Розв’яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
182. У чотирикутнику ABCD (мал. 81) сторони ВС і AD — паралельні, а сторони АВ і CD — не паралельні.
Мал. 81.
