ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

161. Спільні властивості ромба і квадрата:

1) протилежні сторони паралельні;

2) всі сторони рівні;

3) протилежні кути рівні;

4) сума будь-яких сусідніх кутів дорівнює 180°;

5) діагоналі точкою перетину діляться навпіл;

6) діагоналі перпендикулярні;

7) діагоналі ділять кути навпіл.

162. Спільні властивості квадрата і прямокутника:

1) протилежні сторони паралельні;

2) протилежні сторони рівні;

3) всі кути прямі;

4) сума будь-яких сусідніх кутів дорівнює 180°;

5) діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

6) діагоналі рівні.

163. Нехай х см — довжина сторони квадрата, тоді 4х см — його периметр. Маємо рівняння 4х - х = 18; 3х = 18; х = 6. Отже, сторона квадрата дорівнює 6 см, а його периметр дорівнює 4 • 6 = 24 (см).

Відповідь: 6 см, 24 см.

164. У прямокутнику ABCD (мал. 72) АВ = ВС, BC = CD, CD = DA

DA = AB — за умовою, тоді АВ = ВС = CD = DA. Отже, в прямокутнику всі сторони рівні, отже, прямокутник ABCD — квадрат, що і треба було довести.

Мал. 72.

165. У ромбі ABCD (мал.72) ∠A = 90° — за умовою, тоді ∠C = ∠A = 90° (оскільки протилежні кути ромба рівні), ∠B = 180° - 90° = 90° (оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°), ∠D = ∠B = 90° (оскільки протилежні кути ромба рівні). Отже в ромбі всі кути прямі, отже, ромб ABCD — квадрат, що і треба було довести.

166. 1) Твердження «Кожний квадрат є прямокутником» правильне.

2) Твердження «Існує квадрат, який не є ромбом» хибне.

3) Твердження «Кожний ромб є квадратом» хибне.

4) Твердження «Кожний квадрат є ромбом» хибне.

5) Твердження «Будь-який прямокутник є квадратом» хибне.

6) Твердження «Відношення периметра квадрата до його сторони є сталим для всіх квадратів» правильне. Це стале число дорівнює 4.

168. ∠BOA = 180° - 70° = 110° за властивістю суміжних кутів; ∠ВАО = 90° : 2 = 45° за властивістю кутів квадрата; ∠ABO = 180° - 45° - 110° = 25° — за теоремою про суму кутів трикутника; ∠ОКА = 90° - 25° = 65° — за властивістю кутів прямокутного трикутника АВК.

Відповідь: 65°.

Достатній рівень

169. 1) Розділимо периметр квадрата і отримаємо сторону квадрата. Будуємо квадрат за стороною (мал. 72).

2) Будуємо дві взаємно перпендикулярні прямі, які перетинаються в точці О (мал. 73). Від точки О відкладаємо відрізки ОА, ОВ, ОС, OD, довжина кожного з яких дорівнює половині заданої діагоналі. ABCD — шуканий квадрат.

170. Розділимо суму діагоналей квадрата на 4 і отримаємо довжину половини діагоналі квадрата. Будуємо дві взаємно перпендикулярні прямі, які перетинаються в точці О (мал. 73). Від точки О відкладаємо відрізки ОА, ОВ, ОС, OD, довжина кожного з яких дорівнює половині заданої діагоналі. ABCD — шуканий квадрат.

Мал. 73.