ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

131. 1) Оскільки сума двох кутів ромба за умовою задачі дорівнює 80°, то задані кути протилежні кути ромба, бо сума кутів прилеглих до однієї сторони дорівнює 180°.

Оскільки протилежні кути ромба рівні, то градусна міра кожного з них дорівнює 80° : 2 = 40°. Градусна міра кожного з двох інших кутів ромба дорівнює 180° - 40° = 140°.

Отже, кути даного ромба дорівнюють 40°; 140°; 40°; 140°.

Відповідь: 40°; 140°; 40°; 140°.

2) Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а їхня сума дорівнює 180°. Нехай х° — величина меншого кута, тоді х° + 20° — величина більшого кута. Отримуємо рівняння: х + х + 20 = 180; 2х = 160; х = 80; х + 20 = 100. 80° — менший кут; 100° — більший кут. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то кути даного ромба дорівнюють 80°; 100°; 80°; 100°.

Відповідь: 80°; 100°; 80°; 100°.

132. 1) Оскільки сума двох кутів ромба за умовою задачі дорівнює 210°, то задані кути протилежні кути ромба, бо сума кутів прилеглих до однієї сторони дорівнює 180°.

Оскільки протилежні кути ромба рівні, то градусна міра кожного з них дорівнює 210° : 2 = 105°. Градусна міра кожного з двох інших кутів ромба дорівнює 180° - 105° = 75°.

Отже, кути даного ромба дорівнюють 75°; 105°; 75°; 105°.

Відповідь: 75°; 105°; 75°; 105°.

2) Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а отже, їх сума дорівнює 180°. Нехай х° — величина меншого кута, тоді х° + 50° — величина більшого кута. Отримуємо рівняння: х + х + 50 = 180; 2х =130; х = 65; х + 50 = 115. 65° — менший кут; 115° — більший кут. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то кути даного ромба дорівнюють 65°; 115°; 65°; 115°.

Відповідь: 65°; 115°; 65°; 115°.

133. 1) Твердження «Якщо в чотирикутнику діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом» неправильне (мал. 54).

Мал. 54.

2) Твердження «Якщо в чотирикутнику діагоналі не перпендикулярні, то він не може бути ромбом» правильне.

3) Твердження «Існує ромб, який є прямокутником» правильне. Це — квадрат.

4) Твердження «Жоден прямокутник не є ромбом» неправильне. Квадрат є ромбом.

Достатній рівень

134. У ромбі ABCD (мал. 55) ∠ВАО - ∠AВО = 10°. Нехай ∠AВО = х°, тоді ∠BAO = х° + 10° і з трикутника АBО маємо: х + х + 10 = 90.

Мал. 55.

Звідси 2х + 10 = 90; 2х = 80; х = 40. Отже, ∠AВО = 40°, тоді ∠АВС = 2∠АВО = 2 • 40° = 80° — за властивістю діагоналей ромба. Тоді ∠BCD = 180° - ∠ABC = 180° - 80° = 100° — за властивістю сусідніх кутів ромба. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то кути даного ромба дорівнюють 80°; 110°; 80°; 110°.

Відповідь: 80°; 110°; 80°; 110°.

135. У ромбі ABCD (мал. 55) нехай ∠ABO = 2х°, ∠BAO = 3х° і з трикутника АBO маємо: 2х + 3х = 90. Звідси 5х = 90; х = 90 : 5; х = 18. Отже, ∠ABO = 2 • 18° = 36°, тоді ∠ABC = 2∠ABO = 2 • 36° = 72° — за властивістю діагоналей ромба. Тоді ∠BCD = 180° - ∠АВС = 180° - 72° = 108° — за властивістю сусідніх кутів ромба. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то кути даного ромба дорівнюють 72°; 108°; 72°; 108°.

Відповідь: 72°; 108°; 72°; 108°.

136. 1) Побудуємо трикутник ABD (мал. 56) за трьома сторонами: AB, AD — задані сторони ромба, BD — задана діагональ. Через точки B і D проводимо промені ВС і DC, які паралельні відповідно сторонам AD і AB. ABCD — шуканий ромб.

Мал. 56.

2) Побудуємо прямокутний трикутник АОВ (мал. 57) за двома катетами: АО, ВО — половини заданих діагоналей ромба. На променях АО і ВО від т. О відкладаємо половини діагоналей: ОС = AO, OD = BO. ABCD — шуканий ромб.

Мал. 57.

137. Побудуємо (мал. 58) трикутник ABD за двома сторонами: АВ і AD — задані сторони ромба із заданим кутом BAD. Через точки B і D проводимо промені ВС і DC, які паралельні відповідно сторонам AD і AB. ABCD — шуканий ромб.

Мал. 58.

138. У ромбі ABCD (мал. 59) ВМ ⟂ AD, BN ⟂ CD. △BMA = △BNC — за гіпотенузою і гострим кутом (АВ = ВС — як сторони ромба; ∠A = ∠C — як протилежні кути ромба). Із рівності цих трикутників маємо ВМ = BN, що і треба було довести.

Мал. 59.

139. У ромбі ABCD (мал. 60) ВК ⟂ AD, DL ⟂ ВС. △ВКА = △DLC — за гіпотенузою і гострим кутом (АВ = DC — як сторони ромба; ∠А = ∠С — як протилежні кути ромба). Із рівності цих трикутників маємо ВК = DL, що і треба було довести.

Мал. 60.

140. У ромбі ABCD (мал. 61) АМ ⟂ CD, АК ⟂ ВС, ∠КАМ = 110°. Із чотирикутника МАКС, у якому два кути прямі, третій дорівнює 110°, знаходимо: ∠КСМ = 360° - 2 • 90° - 110° = 70°. Звідси за властивістю протилежних кутів ромба ∠BAD = ∠BCD = 70°. За властивістю сусідніх кутів ромба: ∠АВС = ∠ADC = 180° - 70° = 110°, отже, кути ромба: 110°, 70°, 110°, 70°.

Відповідь: 110°, 70°, 110°, 70°.

Мал. 61.