ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

Для того, щоб позначити на стороні AC точку D таку, що виконується рівність АВ² = AD • АС, треба побудувати коло з центром в т. О, яка є серединою ВС, та дотикається АВ у точці В. Тоді коло перетне АС у шуканій точці D. АВ — дотична до кола, АС — січна, тоді за теоремою про пропорційність відрізків січної і дотичної АВ² = AD • АС.

Нехай дано чотирикутник ABCD, AC ⟂ BD, тоді △АВО, △ВОС, △СОВ, △DOA — прямокутні. Знайдемо ВО² з △АВО та △СВО за наслідком з теореми Піфагора: ВО² = АВ² - АО²; ВО² = ВС² - ОС², тоді АВ² - АО² = ВС² - ОС²; АВ² - ВС² = АО² - ОС². Знайдемо DO² з △АОD та △СDО: OD² = AD² - AO²; OD² = DC² - ОС²; AD² - АО² = DC² - ОС², тоді AD² - DC² = АО² - ОС². Маємо: АВ² - ВС² = АD² - DС²; АВ² + DС² = АD² + ВС². Що й треба було довести.

Нехай R і r — радіуси даних кіл, R > r. Радіуси O₁M і O₂N, проведені в точки дотику, перпендикулярні дотичній, а отже, паралельні. Проведемо відрізок, паралельний MN з центра меншого кола до радіуса більшої — О₂К. KMNO₂ — прямокутник (KM ∥ NO₂, MN ∥ КО₂, O₂N ⟂ MN). Тоді О₂K = MN. З △О₁KО₂ O₂K² = MN² = O₁O₂² - O₁K² = (R + r)² - (R - r)² = R² + 2Rr + r² - R² + 2Rr - r² = 4Rr=2R • 2r = Dd.

У △АВС ВН — висота, отже, ∠BHA = ∠ВНС = 90°. У △ВНС за теоремою Піфагора ВС² = ВН² + НС². У △ВНА з теореми Піфагора ВН² = АВ² - АН², тоді ВС² = ВА² + НС² - АН². За властивістю відрізка НС = АС - АН, тоді ВС² = ВА² + (АС - АН)² - АН² = ВА² + АС² - 2АС • АН + АН² - АН² ВА² + АС² - 2АС • АН. Що й треба було довести.

Дано: △АВС, ВН — висота, ∠A — тупий.

Довести: ВС² = АВ² + АС² - 2АС • АН.

За умовою у △АВС ∠A — тупий, ВН — висота, тоді ∠H = 90°. У △ВНС за теоремою Піфагора ВС² = ВН² + НС². У △ВНА ВН² = АВ² - АН² за наслідком з теореми Піфагора. ВС² = АВ² - АН² + НС². За властивістю відрізка НС = АН + АС, тоді ВС² = АВ² - АН² + (АН + АС)² = АВ² - АН² + АН² + 2АН • АС + АС² = АВ² + АС² + 2АС • АН. Що й треба було довести.

Нехай дано △АВС, ∠C = 90°, коло з центром в точці О, вписане у △ABC. P_△ABC = AB + BC + АС. т. М, т. N та т. К — точки дотику кола і сторін △АВС. За властивістю дотичних MB = NВ, AM = АК, CN = KC. За умовою MB : AM = 2 : 3, тоді MB = 2x; AM = 3х. У △ONC ∠ONC = 90° (OH — радіус кола, СВ — дотична, т. Н — точка дотику). ON = СN. за теоремою Піфагора ОС² = ОN² + СN². За умовою ОN = СN = r. ОС = m√2, тоді (m√2)² = 2ОN², 2m² = 2ОN², ОN² = m², ON = m. Значить, АВ = АМ + МВ, АВ = 3х + 2х. ВС = СN + NВ, ВС = m + 2х, АС = 3х + m. У △АВС за теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС². (5х)² = (m + 2х)² + (m + 3х)²; 25х² = m² + 4mх + 4х² + m² + 6mх + 9х²; 12x² - 10mx - 2m² = 0 | : 2; 6x² - 5mx - m² = 0; D = b² - 4ас; D = 25m² + 24m² = 49m²;

Якщо трикутник прямокутний, тоді квадрат однієї з його сторін дорівнює сумі квадратів двох інших сторін. Доведемо, що (с + h)² = h² + (а + b)². с² + 2ch + h² = h² + а² + b² + 2аb; с² = а² + b² + 2ab - 2ch. За умовою △АВС ∠ACB = 90°, СК — висота, тоді ∠СКА = 90°. △АВС ~ △АСK, отже,